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- 549 ：
- >>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？
意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
ついでなので、先に回答しておく。
＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？
・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。
[続く]
- 550 ：
- [続き]
Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、
Q'＝(0,1)∩V
が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。
次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、
Q'＝(0,1)∩K
が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。よって、x∈(0,1)∩K となるので、
x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。
以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。
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