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高校数学の質問スレPart402
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数理論理学（数学基礎論） その12
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0.99999……は１ではない その２
代数的解析幾何学
- 409 ：
- >>407 補足
下記より
「Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R − Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R − A は開かつ稠密である。」
とあることにご注意。
Q は第1類集合、R − Q は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない
（>>298より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α， β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1 類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R − Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R − A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R − Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R−Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り)
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