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巨大数探索スレッド13
- 404 ：
-
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R−B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、
もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。
そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。
- 405 ：
- おっちゃんです。
スレ主へ：
ジハード！！！！！ ジハード！！！！！ ジハード！！！！！
- 406 ：
-
[記法の整備 その２]
さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。
Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」
より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。
―――――――――――――――――――――――――――――――
Lips(x,f)：
x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと
「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」
が成り立つことは同値であることに注意する。
- 407 ：
- さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。
スレ主が引用している主張
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
例の定理
――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。
もし R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、主張している内容が全く違う。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、
例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、
この時点で既に状況が違っている。
・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、
例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を
"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。
……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ
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