問題文一行の超難問を出し合うスレ
分野は何でもok
3:4:5:5√2
5:12:13:13√2
存在しないな――。
特殊な直方体、立方体だとどうか。1:1:1:√3――存在しない。
1:2:――存在しないぞ。
a^2+b^2=c^2(a≦b≦c)とすると、
対角線の長さ=√(a^2+b^2+c^2)
=√(2c^2)
=c√2
√2が無理数だから、
3辺a,b,cを整数とすると、
対角線は無理数になる。
∴存在しない。
論外
1つの正方形で正方形は埋め尽くせるぞ
>>7
8^3+11^3+(-12)^3=115
惜しい!!
11^3+(-10)^3+(-6)^3=115
惜しい!!
>>8できる。見たことある。二十個ぐらいの異なる正方形で分割してあった。
ルジンの問題？
>>12いや、たしか日本人でしたよ。桜井とかいったような。
a^3+b^3+c^3=114
a^3+b^3+c^3-114=0
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)なので
abc=38と
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0である事がわかる
abc=38よりa,b,cの候補が±1,±2,±19,±38に絞られるが、
どの組み合わせも(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0を満たせない
よってa^3+b^3+c^3=114を満たすような整数の組(a,b,c)は存在しない
訂正OBPの長さはいくつか？
>>15-16
Pは4秒でOから、
2√3(/秒)×4(秒)=8√3だけ進む。
PがB→A回りのとき、
OP=12
OBP=8√3
PがA→B回りのとき、
OP=12
OBP=OA+OB+⌒AB-OAP
=12+12+2π･12･(60°/360°)-8√3
=24+4π-8√3
正解⭕
ツッコミ待ちだったらあれなんだが、
その因数分解の式で変形して整理すると
3(abc-38)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
となるんじゃ？
abc=38と(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0は一体どこからw
必要ならJacobson radicalで割って半単純代数として良い。
体の標数は0なので環Rは複素数体Cの行列環として良い。
xiの固有値をaijとしてtraceをとれば仮定より
Σ[ij] aij^n =0 (∀n)
Vandermonde + αによりaij=0 (∀ij)
円周率3とした文科省に噛み付いた東大の受験問題。色んな意味でカッコイイ
今月もおもしろい問題にいっぱい出逢えますように!!
http://o.2ch.sc/1jrgy.png
>>30
1つ目の正方形の一辺:√2
2つ目の正方形の一辺:2
3つ目の正方形の一辺:2√2
4つ目の正方形の一辺:4
5つ目の正方形の一辺:4√2
6つ目の正方形の一辺:8
7つ目の正方形の一辺:8√2
∴5つ目の正方形の一辺と7つ目の正方形の一辺の差は、
8√2-4√2=4√2
を示すの？
そう。トートロジーにならないように弧長の定義に沿って示してほしい。
これは難問なの？
難問だとして有名題なの？？
そもそも成り立つの？？？
偏角θが0<θ<π/2である点P(a,b)を単位円上に、Q(1,c)をx=1上にとる。
示すべきはθ<c。
θ=∫[0,b]1/√(1-y^2)dy
<∫ [0,b]1/√(1-b^2)dy
= b/√(1-b^2)
= c
正解。微積分の教科書作成で循環論法なしでこれを示すのが難しいらしい。
ネタ元は加藤和也が一般向けに書いた本だよ
tan n°が有理数ならtan(n,45)°=tan m°も有理数。
m≠45ならmは9または15の約数よりtan9°またはtan15°が有理数。
tan9°は方程式
(3x-x^3)/(1-3x^2)= (1-2x^2)/(2x)
すなわち
1-10x^2+5x^4=0
の解であるが、この解は
x=±√(5±√5)
であり、いずれも有理数ではない。(∵ 5±√5が有理数ではない。)
tan15°が有理数ならtan30°も有理数であるがこれは1/√3なので有理数ではない。
a[i+2]=10a[i+1]-a[i]、a[0]=2、a[1]=10。
容易にa[i]≡2(mod 4)。
√6≡16 (mod 25)により5±2√6≡5±7 (mod 25)。
7^4≡49^2≡(-1)^2≡1(mod 25)であるから
(5±2√6)^20≡(5±7)^20≡1(mod25)によりa[2019]≡a[-1]≡a[1]≡10(mod 25)。
以上によりa[2019]≡10(mod 100)。
∴ nを100で割った余りは9。
答えはトリップです(答えが1なら名前欄に
#1
と書く)
a[i]=(5+2√5)^i+ (5-2√5)^iとおいてn=a[2019]-1。
a[i+2]=10a[i+1]-5a[i]、a[0]=2、a[1]=10。
容易にa[i]≡2(mod 4)。
vを√5進付値としてv(a[i])≧i)。
とくにa[2019]は25の倍数。
以上によりa[2019]≡50(mod 100)。
∴ nを100で割った余りは49。
Prelude> let a = map ((+(-1)).fst) $ iterate (\(x,y)->(y,10*y-5*x)) (2,10)
Prelude> take 10 a
[1,9,89,849,8049,76249,722249,6841249,64801249,613806249]
Prelude> let b = map (truncate) $ iterate (*(5+(sqrt 20))) 1
Prelude> take 10 b
[1,9,89,849,8049,76249,722249,6841249,64801249,613806249]
Prelude> flip mod 100 $ a!!2019
49
>>47
正十二面体の一つの面の形は正五角形。五つの正五角形と接する。頂点の数はぜんぶで、
5+10+5=20
面の数はぜんぶで12あり、うち3つをどう選ぶかで、その3つの面に使われてる頂点の数は変わる。
それぞれの頂点が①3つの面に含まれてることもあれば②2つの面に含まれてることもあるし③1つの面のみに含まれてることもあるし④3つの面のいずれにも含まれてないこともある。
①の場合は頂点の数だけ、すなわち20通りある。
②の場合は2つの面の選び方が辺の数だけ、すなわち5+10+5=20(通り)あり、2つととなりあわないあと1つの面が8通りあり、
20･8=160(通り)ある。
③の場合は1つの面の選び方は任意で、
1つととなりあわないあと2つの面が6Ｃ2=15(通り)ある。
④の場合は、
あわせて12Ｃ3=12･11･10/3･2=220(通り)あればいいから、
220-20-160-15=25(通り)
あってる可能性がある。
選んだ1つの頂点が、
選ばれた3つの面のうちいくつに含まれてるか、
その期待値は、
3(20/220)+2(160/220)+1(15/220)=3/11+16/11+3/44
=(19･4+3)/44
=79/44
=1.79545454……
>>47
正十二面体の一つの面の形は正五角形。五つの正五角形と接する。頂点の数はぜんぶで、
5+10+5=20
面の数はぜんぶで12
3つの面をどう選ぶか。
任意に選んだ頂点が、
①3つの面に含まれてる場合
頂点の数、すなわち20
②2つの面に含まれてる場合
2つの面の選び方は辺の数、すなわち5+10+5=20
あと1つの面の選び方は8
20･8=160
③1つの面のみに含まれてる場合
1つの面の選び方は12
1つととなりあわないあと2つの面が、6Ｃ2=15
12･15=180
④3つの面のいずれにも含まれてない場合
期待値は、0
12面から3面選ぶ場合の数は、
12Ｃ3=12!/3!･9!=12･11･10/3･2=220
1つの頂点が、
3つの面のうちいくつに含まれてるか、
その期待値は、
3(20/220)+2(160/220)+1(180/220)=3/11+16/11+9/11
=28/11
=2.545454……
いずれかの頂点になるだ。
わかってきたぞ。
20ある頂点のうち、
3つの正五角形のいずれかが取りうる頂点の数の期待値の最大値は、
5･3=15
天辺の取り方は12通り。
二段目5つは空ける。
三段目5つのうち手前に2つ目の面をとると、3つ目の取り方はとなりを空けて2つある。
12の面から3つとる取り方は、
12Ｃ3=12･11･10/3･2
=220
場合分けして解く。
①いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方は下段に5
3つ目の取り方は下段に2
12･5･2=120
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5･3=15
期待値は、
15(120/220)=90/11
②1辺だけ重なるように3つの面をとる場合、
となりあう2つの面ととなりあわないあと1つの面の取り方は4通りあるから、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方が5
3つ目の取り方が4
12･5･4=240
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+5=13
期待値は、
13(240/220)=156/11
③1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる取り方は、
天辺の取り方が12
2つ目の取り方が5
3つ目の取り方が4
12･5･4=240
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+3=11
期待値は、
11(240/220)=12
④3つの面が1つの頂点で重なる取り方は、
天辺の取り方が12
2つ目の取り方は上段に5
3つ目の取り方は上段に2
12･5･2=120
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数は、
5+3+2=10
期待値は、
10(120/220)=60/11
①②③④より、
(90/11+156/11+156/11+12+60/11)/5=(462/11+12)/5
=(42+12)/5
=54/5
=10.8
自信ない。
15、13、11、10の4種類。
それぞれの起こる確率を足すと1になるはず。
220を超える分子が気になった。
前>>52
4種類の起こる確率が正確に把握できれば、
期待値は出るはず。
12ぐらいかな？
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は4
12･5･4=240(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は4
12･5･4=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2つ目の取り方は上段に5
3つ目の取り方は上段に2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+240+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(240/720)+11(240/720)+10(120/720)=3+11/3+5/3
=(15+26+22+10)/6
=73/6
=12.166……
用意していたのと毛色の違う答案が来たので読めないでいる。
後半は読めそうなんだが、
そのn,mは整数？
0<n<90, n≠45, tan n°が有理数と仮定すると
m=(45,n)とおくとき
mは45の45でない約数かつtan m°が有理数
となる。
∵ mが45の約数であるのは自明。
m=45とするとnは45の90未満の倍数。
∴n=45。
これはn≠45に矛盾。
m=45x+ny を満たす整数x,yが取れるが加法定理とtan45°、tan n°がともに有理数と仮定してるからtan m°も有理数。
正十二面体の頂点の数は20。
12の面のうち3つの面にある頂点の数の期待値として、12.166……は妥当な値だと思うんですが、半端ですね。
解くたび値が変わってるし。
計算間違いしたのかな？
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+240+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(240/720)+11(240/720)+10(120/720)
=(15+26+22+10)/6
=73/6
=12.166……
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2=10
12･10=120(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240
2段目を空ける場合は、
3段目の取り方が5で、
かつ底辺をとる。
12･5=60
240+60=300(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
120+300+240+120=780(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(120/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)
=(15･2+13･5+11･4+10･2)/12
=(30+65+44+20)/12
=159/12
=13.25
15(120/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)
↓ ↓ ↓
15(120/780)+13(300/780)+11(240/780)+10(120/780)
>>61重複しとるね、3段目。訂正。綺麗な値になった。あってるかもしんない。
>>47
?頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
(5Ｃ2)/2=(5･4/2)/2
=10/2
=5
12･5=60(通り)
?頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は3
底辺の取り方は1
12･5･(3+1)=240
2段目を空ける場合は、
3段目の取り方が5で、
かつ底辺をとる。
12･5=60
240+60=300(通り)
?頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
2段目ととなりあわない2段目の取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
?頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
????の場合の数の合計は、
60+300+240+120=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
????より、
15(60/720)+13(300/720)+11(240/720)+10(120/720)=(15+13･5+11･4+10･2)/12
=(15+65+44+20)/12
=144/12
=12
問題文には「正12面体の3面を任意に選ぶとき」とあるが、
重複不可の三面なら12.3636... 、重複可なら、11.5625
>>47
まだ重複してたってことだな。
3面選ぶのに重複しましたもんで2面ですとか、3面とも重複しましたん、せやで1面なんですとかボケるのなしで、
136/11ってことか。
もしそれが正解なら、俺の答えは144/11
あと8/11だけ重複してたってことになる。
あと8、重複をみつける。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目の取り方は2
3段目をとらずに2段目ととなりあわない2段目をとる取り方は2
12･5･(2+2)=240(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
3段目は空ける。
2段目ととなりあう2段目の取り方は2
12･5･2=120(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+360+240+120=780(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/780)+13(360/780)+11(240/780)+10(120/780)=(15+13･6+11･4+10･2)/13
=(15+78+44+20)/13
=157/13
=12.07692308……
>>66答えだけ当ててもなんにもならない。出題者以外だれが理解するんだ。
三面を選ぶ際、北極面を固定して選ぶこととする。残り二面の選び方は、
a:北半球面から二面
b:北半球面から一面、南半球面から一面
c:北半球面から一面、南極面
d:南半球面から二面
e:南半球面から一面、南極面
の五パターンだが、この二面が接する場合(on)と、接しない場合(off)に分けて考えると、
a-on:5通り、頂点は10個 （密着型)
aoff:5通り、11個 （鎖型）
b-on:10通り、11個 （鎖型）
boff:15通り、13個 （２分離型）
c-on:5通り、13個 （２分離型） ；【coffパターンは無い】
d-on:5通り、13個 （２分離型）
doff:5通り、15個 （３分離型）
e-on:5通り、13個 （２分離型） ；【eoffパターンは無い】
つまり、密着型(頂点10)が5通り、鎖型(頂点11)が15通り、2分離型(頂点13)が30通り、3分離型(15)が5通りある。
(10*5+11*15+13*30+15*5)/(5+15+30+5)=136/11=12.3636...
重複可の場合は省略
誤：c-on:5通り、13個 （２分離型） ；【coffパターンは無い】
正：coff:5通り、13個 （２分離型） ；【c-onパターンは無い】
>>75
書き方が違うだけでやってることは同じみたいだ。
天辺で12掛けてるのを省略すると、
①5②30③20④10
正解は①5②30③15④5
つまり頂点の数が15のときと13のときは訂正してあってるってことか。③④がちょっと多かったみたい。頂点の数が11のときと10のときが重複してないか、なんで多くなってるのか検討してみます。
プログラムでも確かめてあります。（重複不可と重複可の両方走らせてあります。）
http://codepad.org/UBUAl3KK
>>47
?頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
?頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360
?頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
この2面ととなりあう6面のうち4面がとりうるから、
12･5･4=240(通り)
?頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目で2つとる取り方は5
12･5=60(通り)
????の場合の数の合計は、
60+360+240+60=720(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
????より、
15(60/720)+13(360/720)+11(240/720)+10(120/720)=(15+13･6+11･4+10)/12
=(15+78+44+10)/12
=147/12
=12.25
③もわかった。
>>47
①頂点の数が15の場合(いずれの辺も重ならないように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目は空ける。
3段目の5つのうち2つをとる取り方は、
5Ｃ2=5･4/2
=10
重複してるから5
12･5=60(通り)
②頂点の数が13の場合(1辺だけ重なるように3つの面をとる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
1辺が重なる2面ととなりあわない面は4
12･5･4=240
2段目をとらずに3段目と底辺の6枚のうちとなりあう2枚をとる取り方は10
12･10=120
240+120=360(通り)
③頂点の数が11の場合(1辺が重なり、かつ別の1辺が重なる場合)、
天辺の取り方は12
2段目の取り方は5
この2面ととなりあう6面のうち4面がとりうるが、
2段目からとる場合は5つのうち2つをとる取り方は10で、重複してるから5
12･5=60
3段目からとる場合は2段目1つについて3段目2つがとりうるから5･2=10
12･5･2=120
60+120=180(通り)
④頂点の数が10の場合(3つの面が1つの頂点で重なる取り方は)、
天辺の取り方は12
2段目で2つとる取り方は5
12･5=60(通り)
①②③④の場合の数の合計は、
60+360+180+60=660(通り)
3つの面のいずれかに含まれる頂点の数の期待値は、
①②③④より、
15(60/660)+13(360/660)+11(180/660)+10(120/660)=(15+13･6+11･3+10)/11
=(15+78+33+10)/11
=136/11
=12.363636……
密着型：
頂点は１０個。一つの頂点を共有する三面で構成。
正十二面体上の一つの頂点と１対１に対応づけられる。従って２０通り
鎖型：
頂点は１１個。三つの面が繋がっている。ただし、密着型では無いもの。
真ん中の面と、その面内の一つの辺で、三面を特定できる。従って１２×５＝６０通り
2分離型：
頂点は１３個。三面の内二面が接触、他の一面が非接触。
接触している二面は、その共通辺に対応づけられ、非接触の一面は４つの候補がある。従って、稜の数の４倍。３０×４＝１２０通り
3分離型：
頂点は１５個。お互い共通辺を持たない。
密着型の三面のすぐ外にできる三面がこれにあたり、密着型と１対１に対応づけられる。従って２０通り
20+60+120+20=220。合計220通り。
プログラムでも示したように、「三面」の選び方はC[12,3]=12*11*10/3!=220通りが基本。
3! 分を「あえて」重複して数えたりする方法もあろうが、その場合でも、この倍数になるのが普通。
そうならない場合は、何かがおかしい。
難問じゃないの出すのやめ
>>83
34乗のとこが2乗なら、
展開式のxの係数が最大のkで、
2･4･√2=8√2
4乗なら、
x^2の係数が最大のkで、
6･4^2･√2=96√2
……
34乗のとき、
x^17乗の係数が最大のk。
あとで考慮します。
面白そうと思ったやつ限定で挑戦してまつ。
45x+nyを計算する過程で90+180Zを通らないか心配したけど、
これはyを適切にとって先にnyを計算して45づつ引けば回避できるわ。
で >>42
tan 9° の最小多項式は
1-4x-14x^2-4x^3+x^4=0
が正しくて、4つの根は
x=1+s√(5)+t√(5+s√5)
s,t∈{±1}
(複号3つだが4通りしかとれないという意味)
らしいです(wolfram調べ)
まあ整数度についてはこれで正解にしよっか
はtan18°の最小多項式だな。
tan9°が有理数⇒cos36°=(1+√5)/4も有理数
tan15°が有理数⇒cos30°=√3/2も有理数
の方が計算は楽？
無理はしてくれるなと思うけど
有理数度の場合の答えは
来週末に書きます
>>89
ほぉーん
これもちゃんと解いたら
tan18°=√(1-2/√5) だ
ついでに
1,2,3,... 度のtanの最小多項式の次数 24,24,8,24,6,... をwolframに聞いてOEISに突っ込んだけどなかったw
やcos(2π/n)のそれ=φ(n)
は有名だけどね。
tan(2π/n)のそれもやろうと思えばできるんだろな。
か
素数 p≧3 に対して
[Q(tan(2π/p)):Q]=φ(p)=p-1
というのがあった
この方向でいくなら
正確に求めずとも1でさえなければ無理数確定だが
[Q(tan2π/n):Q(cos4π/n)]=1,2と比較的簡単に証明できる[Q(cos(2π/n)):Q]などをうまく使えば出来る。
しかしどうせなら気分良く[Q(tan2π/n):Q]を明示的に求めたいものだ。
[Q(tan(2π/n):Q]=
φ(n) (n:odd)
φ(n/2)/2 (8|n)
φ(n/2) (otherwise)
自信はない。
R^n で解くのは面倒
R^{n+1} に n+1 個の点を
(1,0,...,0) の置換から得られる座標に取って全ペア結ぶと、
一辺が √2 の n 次元 n+1 面体 A になる
これと各座標軸に垂直な n+1 個の n 次元面 x_i=0 とで囲まれる図形 K は
n+2 個の n 次元面を表面とし n+1 次元体積をもつ
K の n+1 次元体積 V は
勝手な n 次元面を底にして
V = (底の n 次元体積) × 高さ × 1/(n+1)
A は n 次元平面 Σx_i=1 にあるので
A を底とみるとき K の高さは
原点から Σx_i=1 までの距離であり、それは 1/√{n+1}
よって
V = volume(A) × 1/(n+1)^{3/2} ...[1]
一方で x_1=0 にある K の面 B を底とみると、
B の体積を求めるには次元を下げて帰納的にいけば
V = V_{n+1} = V_n × 1 × 1/(n+1),
V_2 = V_1 × 1 × 1/2,
V_1 = 1
よって
V = 1/(n+1)! ...[2]
V = volume(A) × 1/(n+1)^{3/2} ...[1]
V = 1/(n+1)! ...[2]
から
volume(A) = √{n+1}/n!
しかし A の一辺は √2 だった
単位長さに調節すると
(n 次元物体なので n 乗)
Ans. √{n+1}/(2^{n/2} n!)
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