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【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.11
秋山仁
０は自然数か？
67 ：
特に書き込みもないので、今日は、別のアプローチで、1/0 の正当性を説明したいと思います

68 ：
指数法則を使います

0^0 * 0^1 は 0^(0+1) だから 0^1 = 0
では
0^0 / 0^1 は ？

正解
0^0 / 0^1 は 0^(0-1) だから 0^-1 = 1/0

69 ：
指数法則ではまず 0^1 が定義されています
次に 0^0 が定義されています
では 0^-1 がこのように定義されるのは極めて自然ではないですか

70 ：
2^-1、2^0、2^1
1^-1、1^0、1^1
？　 、0^0、0^1

？以外は全部存在します

71 ：
>>70の表を見せたとき、IQテストでは、何と答えるのが正解だと思いますか？

72 ：
ちなみに、指数法則で 0^-1 を定義した場合、0 に個性があることになります

73 ：
0 * 0 = 0 … (1)
ですよね
これを指数法則で書き表した場合
0^1 * 0^1 = 0^(1+1) = 0^2
となります
0^1 * 0^1 = 0^2
だから、
(1)の式の左辺の 0 と
(1)の式の右辺の 0 は
違う 0 であると言えることになります

74 ：
>>73のようにした場合
0^1 と 0^2 は違う 0 であるが、どちらも零元であると言えることになります

0 * 0 = 0
だから、両辺に 2 を掛けて
0 * 0 * 2 = 0 * 2
0 * (0 * 2) = (0 * 2)
0 * 0 = 0

指数法則を使った 0 で書き換えます

0^1 * 0^1 = 0^2
だから、両辺に 2 を掛けて
0^1 * 0^1 * 2 = 0^2 * 2
0^1 * (0^1 * 2) = (0^2 * 2)
0^1 * 0^1 = 0^2

通常の計算のルールと合致しました

75 ：
>>74のようにした場合
唯一、通常の計算のルールと異なるのは
0^1 ≠ 0^2
であることです

76 ：
すなわち、単純な 0 からは 0 * 0 が生じないことが言えます

以下、単純な 0 から 0 * 0 が生じないことの証明

単純な 0 とは 0^1 のことを言っています
0^1 ここから、通常の計算の世界の指数法則のルールを使って、
つまり、0^(計算式) のような形のこと
0^2 を導き出してみてください
できますか？

できませんね
0^(1+1) のような形でしか、0^2 は導き出せません
0^(1+1) は 0^1 * 0^1 になります

0^1 からはどうやっても 0^2 を生じることができません

以上、単純な 0 から 0 * 0 が生じないことの証明でした

77 ：
このようにして、指数法則からのアプローチで、0^-1 つまり 1/0 を well-defined に定義できました

Michael F. Atiyahがリーマン予想を証明しました。
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