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○と→による日本語理論
「コホモロジー」
理系への数学 ２
(･ω･)俺が日々の数学的発見を書くスレ
分からない問題はここに書いてね446
7777で10作れる奴いんの？
松坂和夫先生追悼スレ
東京理科大学理学部数学科・数理情報学科
数学学習法
【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
- 759 ：
- >>689
>＞ 「代表元は誰が選んでも同じ」？ 証明は？
>定義を証明しろ、という人は数学が分かってない
>「代表元」と書いた瞬間に一意的であると定義されたことになる
この発言を潰しておくよ（＾＾
１．下記ヴィタリ集合を例にとる
（下記”加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている”）
２．下記、”選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる”
３．もし、一意なら、 [0, 1] の部分集合以外には、代表は取れないことになる
４．しかし、円周率πの同値類の代表として、π自身を取ることは何の問題もない。πは [0, 1] の部分集合ではない QED （＾＾；
５．もちろん、π−3＝0.141592・・ として、 [0, 1] 内に代表を取ることも可（上記２の通り）
６．余談だが、商群 R/Q の代表は、[0, 0.1] 内に取ることも可だよ
例えば、上記πなら、π−3.1＝0.041592・・ として、 [0, 0.1] 内に代表が入るように調整すれば良いだけのこと
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。
なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。
R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。
すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。
ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v ∈ V,u≠vであれば v - u は必ず無理数である。
略
(引用終り)
（・∀・）ﾔｺﾋﾞﾔｰﾝ! ２
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