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朝日生命
現代数学って結局役に立たないじゃん
数学者ほどかっこいい職業あんの？
- 724 ：
- >>721
ですよね。
>>714をもう少し整理して書き直しておきます。
一般に、
C(N,k)=(N/k)*C(N-1,k-1) なので、kとNの最大公約数をL
として、k=qLとおくと、qとN/Lは素なので、qはC(N-1,k-1)
の約数でなければならない。 したがって、C(N,k)はN/Lの
倍数である。これを前提として、>>705の二項展開の各々の
k番目(k≧2)の項の絶対値 M=(n^k)*C(N,k) を評価すると、
Mは(n^k)N/L の倍数になるはず。LをL= (a^s)*(b^t)… と
素因数分解したとき、Nがnの累乗であれば、それらの素因数
a,b…はすべてNの素因数であり、nの素因数でもある。
ここで、nが奇数であれば、n^(k-2)がLで割り切れることを示す。
aがnの素因数より、n^(k-2)はa^(k-2)を因数として持つが、
k≧L≧a^sよりa^(k-2)/a^s≧a^(a^s-s-2)。 a≧3, s≧1より、
a^s-s-2≧0 となるので、a^(k-2)/a^s≧1 、つまりn^(k-2)
はa^sを約数として持つ。他のLの素因数についても同様に言
えるので、n^(k-2)はLを約数として持つ。
したがって M が(n^k)N/L = N*(n^2)*n^(k-2)/L の倍数で
あることから、MはN*(n^2)の倍数であると言える。
以上より、
N=n^(n-1)の場合、M は n^(n+1)の倍数
N=n^(n+1)の場合、M は n^(n+3)の倍数
よって、>>705の二項展開の２番目以降の項はすべてn^(n+1)
の倍数である。
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