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- 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
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