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【数学者】大類昌俊【総合】 Part4
プログラミングBASIC言語について。
暗号数学について語ろう。ROUND 5
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0.99999……は１ではない その２
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RIMS京都大学数理解析研究所
人工知能・機械学習のスレッド＠数学板
- 494 ：
- >>493 つづき
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[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]
Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.
We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.
THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.
THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).
THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]
THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.
つづく
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