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╋|||《数学オリンピック 30》|||╋
数学の本 第87巻
【新海誠】君の名は。
チャート式の例題写しても全く分からない訳だが
座標系の選び方や基底の選び方に依存しないこと
なぜeやπは様々な性質を持つのか？
『解析概論』について5
【数学者】ID:JtmyZOC7【解析】
０は自然数か？
集合論について
- 451 ：
- >>450 つづき
カントール集合
位相的な特徴づけがよく知られているのがこのカントール集合でしょう。
以下ではカントール集合をCで書きます。
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
また、カントール集合から一点を取り除いた空間も上の定理１を用いて特徴づけが出来ます。
以下ではカントール集合から一点を取り除いた空間をLで書きます。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
この定理2の仮定を充たす空間を一点コンパクト化して定理１を用いれば簡単に証明できます。
さて上の二つの定理を合わせて次のように統合できます。
定理３：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
これを用いるとCのクロープン集合について次が分かります。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
この定理は
L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, in: KNAW, Proceedings, 12, 1909-1910, Amsterdam, 1910, pp785-794
により発表されたようです。証明が載っている本としてはWillard著作のGeneral topologyや、北田韶彦著作の「位相空間とその応用」にあります。
つづく
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