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<おちこぼれ達のための補習講座11>
(πと√2による同値類の考察)
1.πと√2による無限列の同値類を考えよう
2.補題1:π−√2は有限小数にはならない。
Proof:t=π−√2 として、√2=π−tで、2=(π−t)^2となる。
もし、tが有限小数=有理数なら、πが有理数係数の代数方程式の根になるので、πが超越数であることに反する。
3.πと√2とを、十進法表示したときの各桁の1〜9の数を順に入れて、無限数列を作るとする
数列 Rπ =(3,1,4,1,5,・・・)
数列 R√2=(1,4,1,4,2,・・・)
4.形式的冪級数を作る
A[[X]]π =3+1*X+4*X^2+1*X^3+5*X^4・・・
A[[X]]√2=1+4*X+1*X^2+4*X^3+2*X^4・・・
5.補題1より、差 A[[X]]π−A[[X]]√2 は、なお形式的冪級数である。
6.一方、例えば、数列 Rπを数列のしっぽの同値類(Uπとする)の代表として、
同値類に属する任意の数列は、<補習講座10>の記号に倣って
A'[[X]]π=A[[X]]π−ΔP(X) と表わすことができる。
7.補題2:A'[[X]]π=A[[X]]π−ΔP(X) はゼロ級数(0,0,0,0,・・・)には成り得ない。ΔP(X)がm次多項式とすると、必ずm+1以降のどこかにゼロでない項が存在する。
(逆に言えば、ΔP(X)=A[[X]]π−A'[[X]]π となる)
Proof:ΔP(X)は定義より、有限次数の多項式であり、A[[X]]πは定義より、真性の形式的冪級数であるから。その後の命題は自明。
8.同じことだが、補題2より、ΔP(X)は多項式環に属し、有限次数であるから、必ずしっぽが残る。同じことは√2についても言える。
つまり、co-tailπとco-tail√2とが存在することが証明された。
(∵co-tail(しっぽの先)が存在しないということは、ゼロ級数(0,0,0,0,・・・)が実現できることになり、補題2に反する)
9.補題2以降は、任意の同値類について成り立つ。
以上
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