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指数定理
不等式への招待 第９章
マイケル・スピヴァック著『多変数解析学』を読む。【Michael Spivak】
９―３÷１／３＋１＝？ 新入社員の正答率４割
なぜ本当に数学ができる奴は医学科へ行くのか
分からない問題はここに書いてね457
数学の本 第90巻
【グラフ理論】離散数学／情報数学 2【組合せ論】
- 23 ：
- おっちゃんです。
もっと簡単に ε-δ で示せそうですな。
[第１段]：区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理数aを任意に取る。実関数 f(x) は x＝a で不連続だから、或るεが存在して、εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a－b|＜δ(ε) であって |f(a)－f(b)|≧ε を満たすようなIの点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c－a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c－b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、
max(|c－a|, |c－b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、(S_1)∩(S_2)≠Φ。
有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。
- 24 ：
- [第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
実関数 f(x) はIの無理数cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、
M＝δ'(A) とおくと、|c－x|＜M のとき |f(c)－f(x)|＜A となる。
|c－x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c－x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1} を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。
同様に、|c－x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)－f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
ⅰ)：|c－x_{i,n}|＜M、|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
ⅱ)：|c－x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)－f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c－x_{i,1}|＜M、|f(c)－f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。
このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。{ ε_{i,n} } は下に有界で、
任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点 c が任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c－x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。
- 25 ：
- [第３段]：無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。A＝d/2 となって |f(a)－f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1－x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)－f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、
{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)－f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。
[第４段]：従って、c_1＝c_2 として、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c－x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)－f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
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