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大学学部レベル質問スレ 11単位目
- 203 ：
- 多項式環と形式的冪級数環を考えよう
（数学的には、後の引用ご参照）
時枝記事に合わせると、
箱が有限なら、多項式の係数a1,a2,・・・an に当たる
箱が無限個なら、それは形式的冪級数における、係数a1,a2,・・・an,・・・
と対応する。
ｎ次多項式（有限モデル）で時枝類似の同値類を考える
係数a1,a2,・・・anで
明らかに、同値類はanで決まる。
同値類の代表F(x)=a1+a2x^2+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
に対し
ある式 F'(x)=a1'+a2'x^2+a3'x^3+・・・+an-1'x^(n-1)+anx^n
において、もしランダムにF(x)と F'(x)とを選んだと考える
その係数が、整数であっても、有理数であっても、実数であっても
an-1 ＝ an-1'となる確率は０（ゼロ）だろう
よって、決定番号が、ｋ （ 1 <= k <= n-1 (つまりｎ以外)）となる確率は０（ゼロ）だ
（ k番目からn-1番目までの全ての係数が一致する確率は、０（ゼロ）だということ）
さて、形式的冪級数環（無限モデル）において上記同様（それは時枝記事と同じ）に、同値類を考える
上記の多項式環の場合と同様に、同値類はan n→∞ で決まる
よって、決定番号が、ｋ （ 1 <= k < ∞ ）となる確率は０（ゼロ）だ
（ k番目から無限の彼方のシッポまでの全ての係数が一致する確率は、０（ゼロ）だということ）
なお、確率が０（ゼロ）と、それが実現できないこととは異なることを注意しておく
例えば、代表F(x)=a1+a2x+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
に対し
ある式 F'(x)=a1'+a2x^2+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
のように、決定番号を２にしようと、人為的に奇跡を構成すれば、実現可能だから
形式的冪級数環においても同様である
これを、時枝記事について考えるに
有限モデルに相当する、多項式環内での次数ｎが大きい多項式の同値類では、
それより小さい決定番号 ｋ （ 1 <= k <= n-1 の確率は、０（ゼロ）
同様に、（時枝記事に相当する）無限モデルの形式的冪級数環においても同じく
ｋ （ 1 <= k < ∞ ）となる確率は０（ゼロ）
つまりは、Ω＝{1,2,・・・,100}などは、
「起こりえない奇跡の中の確率計算をしているのに等しい」ということ
以上
つづく
- 204 ：
- >>203
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
http://www.f-denshi.com/
ときわ台学
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/240rng.html
ときわ台学 The 講義
(抜粋)
４ 多項式環
［多項式］
可換環R 上の多項式 r とは，係数と呼ばれる ｒ1，r2，・・・rrn ∈ R と不定元 x を用いて，
r ＝ r0＋r1x＋r2x2＋・・・＋rnxn ，n ∈ 整数 （＝ r0＋r1・x＋r2・x2＋・・・＋rrn・xn ）
の形で表せるものを多項式いう。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、
Σ _{n=0}^{∞}a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ? m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
(引用終わり)
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/index.html
整数論事始 総目次
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/3_2.html
3.2 一変数多項式と形式的冪級数 著者:梅谷 武 更新:2013-06-17
(抜粋)
?この可換環の元の列で0でない元が無限にあるものを形式的冪級数、0でない元が有限のものを多項式、多項式の中で特0でない元が1個しかないものを単項式といいます。
(引用終わり)
http://mathematics-pdf.com/pdf/
PDF形式の数学ノート よしいず
http://mathematics-pdf.com/pdf/formal_power_series.pdf
形式的冪級数(144KB, 11/01/26)
(抜粋)
?この可換環Rの係数列の集合から成る可換環をR上の形式的冪級数環といいます。特に0でない元が有限個だけの係数列から成る部分集合を考えると、これは加法と乗法に関して閉じていますので形式的冪級数環の部分環になっていますが、これをR上の多項式環といいます。
(引用終わり)
つづく
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