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数理論理学（数学基礎論） その13
- 195 ：
- >>194 つづき
えーと、それで（上記178-186より要点引用）
(抜粋)
補題1.5（注：”The Straddle Lemma”の変形） f : R → R とx ∈ R は lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく
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0.999...は1じゃないことを数学的に厳密に証明したったｗｗｗｗ パゲェヤァああｗｗ
線形代数学ムズすぎワロタw w w
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