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雑談はここにかけ！【54】
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分からない問題はここに書いてね446
- 144 ：
- >>143
>一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 Q に差の絶対値（英語版）を距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2%E6%95%A3%E7%A9%BA%E9%96%93
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、英: discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。
性質
離散距離空間上の一様系は離散一様系であり、離散一様空間上の位相は離散位相である。故に、先に離散空間として挙げたいくつかの概念は、互いに両立する。他方、一様空間あるいは距離空間として離散でないものの中に、その位相が離散位相となるものが存在する。
例えば、実数直線における通常の距離からくる距離空間 X := {1/n : n = 1, 2, 3, …} を考えると、これが離散距離空間でないこと、また（完備でないから）一様空間としても離散でないことは明らかである。にもかかわらず、これは離散位相を備えた離散位相空間になる。
すなわち、この X は「位相的に離散」だが、「一様離散」でも「距離的に離散」でもないということになる。
さらに以下のようなことが成り立つ。
・離散空間の位相次元は 0 である。
・位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
・任意の離散位相空間は各種の分離公理を全て満たす。特に、任意の離散空間はハウスドルフ空間、つまり分離空間である。
・離散空間がコンパクトであることと、それが有限集合であることとは同値である。
・任意の離散一様空間あるいは離散距離空間は必ず完備空間である。
・上二つの事実をあわせれば、任意の離散一様または距離空間が全有界であるための必要十分条件は、それが有限集合であることである。
・任意の離散距離空間は有界空間である。
・任意の離散空間は第一可算空間であり、さらに第二可算空間であることと可算であることとが同値になる。
・少なくとも二点を含む任意の離散空間は完全不連結である。
つづく
分からない問題はここに書いてね460
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む22
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