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Inter-universal geometry と ABC予想 否定派
なぜ0^0=1なんですか？
0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1
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【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明3
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フェルマーの最終定理の簡単な証明
【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】
微分積分
- 116 ：
- 少し戻るが、>>109 について1つ補足しておこう。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦L｜z−y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。つまり、我々のここでの目標は、
「 (a,b)⊂Bf という条件のもとで、(1)を示したい 」
ということである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、もし(1)が成り立つなら何が起きるのかを、「先に」考えてみよう。
もし(1)が成り立つなら、簡単な考察により、
∀x∈(a.b) [ A_f(x)≦L ]
が成り立つことが分かる。すなわち、Af(x) は (a,b) 上で
一様に L で抑えられることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
従って、(a,b)⊂Bf という条件のもとで(1)が証明できた暁には、
「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」
ことが自動的に証明できることになる。従って、我々は少なくとも、Af(x) が (a,b) 上で
一様に有界であるような (a,b) を B_f の中から選ばなければならないことになる。
しかし、出発点である (a,b)⊂Bf という条件では、任意の x∈(a,b) に対して Af(x) が「有限値」であることが
分かっているだけであって、Af(x) が (a,b) 上で一様に有界であるかどうかは分からない。(a,b) の幅を
さらに狭くした(a',b')の上でも、Af(x) が(a',b')上で一様に有界であるかどうかはわからない。
なぜなら、B_f という集合は、その各点 x で Af(x) が「有限値」と言っているに過ぎないからだ。
- 117 ：
- 実際には、>>110 の手法によって、Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れるし、
f はその開区間の上でリプシッツ連続になる。しかし、まさにその
「 Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れる 」
ということを言うための手順が全く自明ではなく、そのやり方は >>110 で既に見たとおりであり、
B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
という包含を使う必要があるし、さらにベールのカテゴリ定理(の開区間版)も必要である。
つまり、スレ主が思っているほど簡単には済まないのである。
もし>>110の手法を使わずに、「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」 という性質を満たす
(a,b)が B_f の中から簡単に選べると思うなら、その方法をここに書いてみたまえゴミクズ君。
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