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- 1 ：2016/08/19 ～ 最終レス ：2020/04/18
- 中学生にも分かるように教えてください
- 2 ：
- 三等分家育成ジャンル
- 3 ：
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
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- 4 ：
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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> ￥
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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
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>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
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>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
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>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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> ￥
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- 7 ：
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
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>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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> ￥
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- 8 ：
- ￥
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- ￥
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- ￥
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- ￥
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- ￥
- 15 ：
- ￥
- 16 ：
- ￥
- 17 ：
- ￥
- 18 ：
- досщтсосцожсйзгнюосе
- 19 ：
- あたまいい
- 20 ：
- お前が今学校でやってる奴
- 21 ：
- ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
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> ￥
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- 22 ：
- 砂糖が炭化せず液体も経由せずに
気化する加熱条件は、けっこう難しい。
- 23 ：
- 初等幾何は現代数学では無用の分野だ。だから教育や受験からは排除するべきだ。
古典文学の研究者がいるように、「古典数学」という専攻分野を全国どこかの大学一つに設ければ十分だ。
- 24 ：
- 教育では初等幾何に代わるものがない
- 25 ：
- >>24
教育的っていう人の意見はかなり眉唾だと思うけどなあ。
- 26 ：
- 初等幾何が教育的なんじゃなくて、
初等教育が初等幾何的なんでしょ。
教条主義的というかね。
- 27 ：
- 計算ではなく論理を重視した手頃な題材で初等幾何に代わるものがないという意味だよ
この手の意見は既によく知ってるかもしれんが
- 28 ：
- 補助線見つけた理由を書かなくても論理的？
へーすげ
- 29 ：
- それを論理に含めるなんて変わってるな
人間を人工知能に育て上げたいのか
- 30 ：
- 大学受験までの初等幾何なんて論理的に考えれば簡単解けるよね
中学入試とかは知らんけどw
- 31 ：
- 多様な素材を見せて興味を引くだけだろ
- 32 ：
- >>31 初等教育で子どもたちに数学への関心を引き出すにはいいかもしれないね。でも中等教育以上では初等幾何は不要。
- 33 ：
- 中等教育に何を期待してんだ
- 34 ：
- 中等？
高校までは、初等教育だよ？
- 35 ：
- 中等教育というのは中学・高校の教育のことだよ
そういう用語があるの
カッコつけて偉ぶって間違ってりゃ世話無いわ
- 36 ：
- IDが似てるから自己突っ込みかと思った
- 37 ：
- ￥
- 38 ：
- ￥
- 39 ：
- ￥
- 40 ：
- ￥
- 41 ：
- ￥
- 42 ：
- ￥
- 43 ：
- ￥
- 44 ：
- ￥
- 45 ：
- ￥
- 46 ：
- ￥
- 47 ：
- 〈地図〉──建築から世界地図へ
http://10plus1.jp/monthly/2016/05/issue-08.php
- 48 ：
- ￥
- 49 ：
- ￥
- 50 ：
- ￥
- 51 ：
- ￥
- 52 ：
- ￥
- 53 ：
- ￥
- 54 ：
- ￥
- 55 ：
- ￥
- 56 ：
- ￥
- 57 ：
- ￥
- 58 ：
- △ABCの等角共役点PとQから3辺に下した垂線の足6点は、PQの中点を中心とする円周上にあります。
｛外心O、垂心H｝は等角共役点の１例です。（9点円）
点Pと3頂点A、B、Cを結んだ3本の直線はそれぞれの対辺と交わります。点Qについても同様です。
これら6点が、同一円周上にあるとき、｛P、Q｝は木戸共役点であると言いましょう。
｛重心G、垂心H｝は木戸共役点の１例です。(9点円）
では、木戸共役点｛P、Q｝の間にどんな関係があるでしょうか？
文献
数セミ、Vol.50、No.3、p.66（2011/3)
- 59 ：
- >>58
AP と BC の交点を L(1)
BP と CA の交点を M(1)
CP と AB の交点を N(1),
AQ と BC の交点を L(2)
BQ と CA の交点を M(2)
CQ と AB の交点を N(2)
とおきます。
チェバの定理
BL(i)・CM(i)・AN(i) = CL(i)・AM(i)・BN(i),
円の中心を Z とおくと、
ZL(i) = ZM(i) = ZN(i) = r.
- 60 ：
- 〔JMO夏季セミナー 40th〕改
平面上に、同一直線上にない3点A、B、Cがある。
このとき、次に挙げる４点のうち、相異なるものの個数は１または４であることを示せ。
三角形ABCの重心、外心、垂心、内心
http://jmoss.jp/mon/
- 61 ：
- >>58
方ベキの定理
AM(1)・AM(2) = AN(1)・AN(2),
BN((1)・BN(2) = BL(1)・BL(2),
CL(1)・CL(2) = CM(1)・CM(2),
定義より
BL(i) + CL(i) = BC,
CM(i) + AM(i) = CA,
AN(i) + BN(i) = AB,
- 62 ：
- 岩波から出てた一松先生の本がオンデマンドで復刊されたけど
5千円出して買う価値ある？
- 63 ：
- 〔問題〕
平面上に 青い点m個と赤い点n個があるとき、
m=n ならば
Σ（同じ色の2点の距離） ≦ Σ（異なる色の2点の距離）
エレ解スレ【2016.11】［259，516］
出題 2015年5月号
解説 2015年8月号
これは、｜m-n｜= 1 のときも成り立つでせうか？
（1，2）はただの△不等式
（2，3）は Kurschak-1981
10th JMO-2000、本選 第3問
不等式スレの［初代スレ.811(2)，827，870]
（m，n）が大きいときは…
- 64 ：
- >>60
平面上に、同一直線上にない3点A、B、Cがある。
このとき、次に挙げる８点のうち、相異なるものの個数は一か八かである。（？）
三角形ABCの重心G、外心O、垂心H、内心I、6点円の中心J、9点円の中心K、de Longchamp点L（外接△の垂心）、Gergonne点Go.
HK：KG：GO：OL = 3：1：2：6 はオイラー線上にある
Go-I-L はある直線上にある。
「一か八か」
結果がどうなるか見当もつかないが、運を天に任せて思いきってやってみること。
「一」は「丁」、「八」は「半」の各漢字の上部分をとったもの。
- 65 ：
- >>63
解説（2015年8月号）により、1次元の場合を示せば十分
(1) W氏 (唯一の正解者)の解
xよりも左側にある青点の数を B(x)、赤点の数を R(x) とおく。
S, Dのうち、点xを通る線分の本数を S(x), D(x）とおく。
S(x) = B(x){m-B(x)} + R(x){n-R(x)},
D(x) = B(x){n-R(x)} + R(x){m-B(x)},
∴ S(x) - D(x) = -{B(x)-R(x)}{B(x)-R(x)+n-m} ≦ 0, (← |m-n|≦1)
これを -∞ < x < ∞ で積分すると
S - D ≦ 0,
エレ解スレ【2016.11】 516～518
- 66 ：
- >>63
(2) 出題者の解
青点、赤点の数を (n+1,n) とする。
m=nのときは端から順に見ていくのだが、ここでは両端から探す。
青点のうちで最小・最大のものを b_n, b_(n+1) とする。
b_n と b_(n+1) を除去した（n-1,n）については、帰納法の仮定より成立つ。
b_n ≦ x ≦ b_(n+1) ⇒ d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) = d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
それ以外 ⇒ d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) > d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
b_n, b_(n+1) を追加した際の S, D の増加分⊿S, ⊿D は
⊿S = d(b_n, b_(n+1)) + Σ[i=1,n-1] {d(b_i, b_n) + d(b_i, b_(n+1))} = d_o + Σ[i=1,n-1] d_o = n d_o,
⊿D = Σ[j=1,n] {d(b_n, r_j）+ d(b_(n+1), r_j)｝≧ Σ[j=1,n] d_o = n d_o,
⊿S - ⊿D ≦ 0,
∴ S - D ≦ 0,
エレ解スレ【2016.11】 516～518
- 67 ：
- >>63
恐ろしく難解な問題をだせ！
http://science2.2ch.sc/test/read.cgi/math/1049652059/631-640
http://mimizun.com/log/2ch/math/1049652059/631-640
- 68 ：
- >>67
恐ろしく難解な問題をだせ！
http://science2.2ch.sc/test/read.cgi/math/1049652059/651-660
http://mimizun.com/log/2ch/math/1049652059/651-660
- 69 ：
- 〔シルベスター・ガライの定理〕
ユークリッド空間にｎ個（n>2）の点がある。
この中の任意の２点を通る直線上には、かならず第３の点があるとする。
このとき、このn個の点は一直線上にあることを示せ。
- 70 ：
- >>69
ケリーの方法（1944-1948）
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/01/23/054621
http://integers.hatenablog.com/?page=1453575015
ところで大統領首席補佐官のケリーさん、
「北」から角が成り込む驚異が…うまくケリをつけられるでしょうか。
- 71 ：
- 〔問題21〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β，∠BCD = γ とします。
β/2 + γ = 120ﾟ,
∠ABD ：∠DBC = 1：3,
∠ACD = 30ﾟ,
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。
・参考
E.M.Langley："A problem"，The Math. Gazette（1922/Oct）（1923/May)
Franklin の凧
数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社（1978）問題21
- 72 ：
- >>71
30°
〔射影幾何〕
平面１上に４角形Ｔ1がある。
平面１外の１点Ｐからこれを照らして、平面２に投影した４角形をT2とする。
T1，T2 の一方が正方形で他方が長方形（正方形を除く）となることがあるか？
- 73 ：
- >>71
∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば
β/2 + γ = 120°より∠BEC=60°
∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=BC, ∠ABE=∠CBE
これと∠ABD = β/4 から∠ABD=∠EBD
また、対称性から∠AEB = ∠CEB = 60°であり∠AED = 60°
よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり
点Dは△ABEの傍心の１つ
よって ∠ADB =（1/2)∠AEB = 30°
最後に補題
点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =（1/2)∠AEB
を使いました。
面白スレ２４ 686-691
- 74 ：
- 〔トレミーの不等式〕
4点 A，B，C，D について AC・BD ≦ AD・BC + AB・CD
(略証)
A，B，C，D にあたる複素数を α，β，γ，δ とする。
(α-γ)(β-δ) = (α-δ)(β-γ) + (α-β)(γ-δ)
∴ |(α-γ)(β-δ)| ≦ |(α-δ)(β-γ)| ＋ |(α-β)(γ-δ)|
∴ AC・BD ≦ AD・BC + AB・CD
なお、等号成立は ABCD が円に内接するとき。
- 75 ：
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- 85 ：
- fがn次以下の多項式とする。
単位球面に内接する正多面体の頂点｛P_i｝について
(1/4π)∫f(x,y,z) dΩ = (1/点数)Σ f(P_i)
J.J.Seidel (1919～2001)
"spherical n-design"
n次以下の任意の多項式について等号が成立する。
少なくとも ([n/2]+1)^2 点以上必要。（Delsarte、Goethals & Seidel, 1978)
spherical 2-design の例
・正４面体 ････ 4点
spherical 3-design の例
・正6,8,12,20面体
spherical 5-design の例
・正12面体 ････ 20点
・正20面体 ････ 12点
・切頂32面体 ････ 60点（等辺長、サッカーボール）
spherical 9-design の例
・正12面体と正20面体を「互い違いに」組み合わせたもの。 … 32点
・切頂32面体（辺長が異なる) ････ 60点
J.M.Goethals & J.J.Seidel: Nieuw Arch. Wisk., ２９, p.52 (1981)
"The football"
宗政「球面上の最適配置入門」
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~munemasa/documents/2007-09-04-for-upload.pdf
- 86 ：
- 〔Weierstrassの多項式近似定理〕 (1885)
fを区間[a,b]上で定義された実数値連続関数とする。
このとき、任意のε>0に対して多項式 P(ε；x) が存在して、
a≦x≦b ⇒ |f(x) − P(ε；x)| < ε
〔Stone-Weierstrassの定理〕 (1937)
球面上の連続関数は、多項式関数を用いて一様に近似される。
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~munemasa/documents/20181206.pdf
- 87 ：
- 〔問題〕
正多角形にはそれに内接する正方形が存在することを示せ。
数学問題置き場
//twitter.com/HimaginaryMp/status/1121732161030119424
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- 88 ：
- ・nが4の倍数のときは明らか。
多角形の頂点の座標を
A(1,0) B(cos(2π/n), sin(2π/n)) C(cos(4π/n), sin(4π/n)) ････
とけば上下対称である。
直線 y=a と多角形の共通部分の長さの半分を h(a) とおく。
上下対称だから h(-a) = h(a),
凸多角形だから、a=0 で最大となり、|a| について単調減少である。
x=h(y) と x=±y (45ﾟ線) は点 (L/2, ±L/2) で交差する。
直線 y=±L/2 と多角形の共通部分の長さはLとなる。
∴ 一辺がLの正方形に接する。
[面白スレ２９．327-331]
- 89 ：
- 〔問題392〕
円K上に相異なる3点A,B,Cがある。△ABCの内心をIとする。
(1) ∠AIB - (1/2)∠C を求めよ。
(2) 点Cが円K上を動くとき、Iの軌跡Lを求めよ。
(3) 弧ABの中点（Cの反対側）をMとする。∠AIM=∠IAM, ∠BIM=∠IBM を示せ。
(4) Lの中心を求めよ。
面白スレ２９-392
- 90 ：
- （修正）
(2) Iの軌跡は A,B を端点とする2つの円弧となることを示せ。この円をLとする。
※ (3) の弧ABは円Kの弧です。
- 91 ：
- 〔問題411〕
円K上に相異なる3点A,B,Cがある。△ABCの重心をG、垂心をH、外心をOとする。
(1) ↑OH = 3↑OG を示せ。 (Euler)
(2) 点Cが円K上を動くとき、Gの軌跡と中心Mを求めよ。
(3) 点Cが円K上を動くとき、Hの軌跡と中心Nを求めよ。
(4) ↑ON = 3↑OM を示せ。
面白スレ２９-411
↑OG = (↑OA + ↑OB + ↑OC)/3,
↑OH = ↑OA + ↑OB + ↑OC,
っていう噂だけど････
- 92 ：
- >>89 の応用
〔チャップルの定理〕
△ABC の内心をＩとし，内接円の半径をｒとする。外心をＯとし，外接円の半径をRとする。
ＯＩ^2 = R^2 - 2Rｒ である。
（平面の場合は R = R ' となる。その証明に円周角の定理がいる。そこに平面の場合の難しさがあった。
これについては2009年の京大の入試問題乙2番6 を参照。)
- 93 ：
- 〔命題1〕
四面体ABCDがある。その外心をＯ，外接球の半径を R とする。内心をＩ，内接球の半径をｒとする。
四面体IBCDの外心をＯ_a とし，他も同様に定める。
このとき四面体 Ｏ_a Ｏ_b Ｏ_c Ｏ_d の外心はＯに一致し，外接球の半径を R ' とおくと
ＯＩ^2 = R^2 - 2R 'r である。
(線型幾何学)
http://aozoragakuen,sakura,ne,jp/
青空学園数学科 → 数学対話 → ●幾何分野 → 線型幾何と4面体 → 4面体の諸命題 → 空間でのチャップル型定理
岩田至康「幾何学大辞典」第4巻、槇書店 (1983)
- 94 ：
- 空間内の剛体Aを変形せずにBに移した。
次は正しいか。
(1) Aから、「平行移動」と、それに平行な軸の周りの「回転」によってBに達する。
(2) 上記の「平行移動」も「回転」も平面による「鏡映」2回により可能。
(3) Aから、「鏡映」4回によりBに達する。
- 95 ：
- (1)
〔剛体回転におけるオイラーの定理〕
剛体の固定点まわりの方向転換は、或る軸のまわりの回転により達せられる。
これを らせん軸 (screw axis) という。
(2)
z方向の平行移動 → z軸に垂直な平面による鏡映 (2回)
z軸のまわりの回転 → z軸に平行な平面による鏡映 (2回)
(3) ハウスホルダー法
- 96 ：
- 長さが1の線分だけを使って図形を描きます。
描かれた図形によって、線分どうしの相対的な位置関係が一意に決まる部分があるとき、
その部分は「作図できた」と考えることにします。
(1) 8本で 90°を作図してください。
(2) 8本で 20°を作図してください。
- 97 ：
- (1)
点Oを頂点にもつ2つの正3角形OAB, OCD を描く。
AとC、BとDが近いとき、点O以外の3点E,F,Gで交差する。
AD // BC // EG ⊥ OF
- 98 ：
- 〔補題〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な折線L1 と 任意の曲線L2 がある。
L1が内側(左)に、L2が外側(右)にあり、交差しないとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
(略証)
最初に L=L2とする。
L1の第一辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
→ △不等式により、L2より短くなる。
L1の第二辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
････
これを繰り返すと、単調に短くなり、最後には L=L1 に至る。(終)
〔系〕
2点A,Bを結ぶ、右に凸な曲線C'がある。
C'に内接する折線L1 と C'の外側の任意の曲線L2 も2点A,Bを結ぶとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
ぬるぽ
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1429353046/224
解析概論スレ５
- 99 ：
- 〔出題１〕
△ABCに対し、同じ平面上の点Pからその3辺BC,CA,ABまたは延長上に引いた垂線の足(垂線と辺との交点)を D,E,F とします。
3直線AD,BE,CFが同一点で交わるとき、点Pを垂足チェヴァ点と呼ぶことにします。
問1 △ABCの3頂点、外心O、垂心Hが垂足チェヴァ点であることを示せ。
問2 P(≠O)が垂足チェヴァ点ならば、外心Oに関してPと対称な点P~も垂足チェヴァ点であることを示せ。
- 100 ：
- f(P) = (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB),
とおく。ここで3点 D,E,F は問題文のように定める。
チェヴァの定理より
Pが垂足チェヴァ点 ⇔ f(P)=1
問1
外心Oから辺BCまたは延長上に引いた垂線の足Mは、辺BCの中点。
∴ (BM/MC) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(O) = 1,
チェヴァの定理の逆より、外心Oは垂足チェヴァ点である。
Pが△ABCの垂心Hのとき、HはAD,BE,CFの交点。
∴ 垂心Hは垂足チェヴァ点である。
問2
3点 P,O,P~ から辺BCまたは延長上に引いた垂線の足を D,M,D~ とする。
P, P~は点Oに関して対称。
∴ D, D~ は中点Mに関して対称。
∴ BD = D~C, DC = BD~
∴ (BD/DC)(BD~/D~C) = 1, 他の2辺についても同様。
∴ f(P)f(P~) = 1,
なお、外心Oに関して垂心Hと対称な点はド・ロンシャン点と呼ぶらしい。。。
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