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この手の問題は微分と積分の順序を入れ替えるテクニックを知っていれば簡単になる
∫∫dxdy(x^2+y^2)*exp(-α*(x^2+y^2))=-∂/∂α(∫∫dxdy exp(-α*(x^2+y^2))=-∂/∂α(π/α)=π/α^2
このテクニックを駆使して頑張ってね

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