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数学書が高すぎる、安くで学びたい
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数学書が高すぎる、安くで学びたい
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- 36 ：
- なぜ abc 予想はまだ予想であるのか（Why abc is still a conjecture）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf
ピーター・ショルツ/ヤコブ・スティックス（PETER SCHOLZE AND JAKOB STIX）
2018年3月、我々は京都の数理解析研究所で1週間滞在し、 abc予想の証明について望月氏および星氏と激しい建設的な議論を行いました。
我々はホストの方々に今回の滞在を非常に特別なものにしてくださった彼等のもてなしと寛大さに対して感謝いたします。
我々は「証明はない（there is no proof）」という結論に至りました。
このレポートで、望月氏による証明には問題があり、 我々の意見では些細な修正で証明を修復できないほどの深刻な問題があるということを説明するつもりです。
そして、このレポートの補足として、我々が証明で持ち出す問題点とそれがギャップをなすのかどうか（望月氏のレポートを参照）
というについて望月氏や星氏とは反対の見解を簡単に述べたいと思います。
- 37 ：
- >>36 の続き
1. Belyi 写像の使用 IUTT から Vojta の不等式と abc 予想へ
abc予想は1985年に Masser と Oesterlé により提起されました。
Conjecture 1. abc予想の主張
abc 予想は0,1,∞を因子とする射影直線/Qに対する Vojta の高さ不等式の特別な場合です。
一般的なVojta の不等式は任意の双曲的曲線とその ample な因子に対しての予想となっています。
Definition 2. 対数的 root 判別式と対数的 conductor の定義
Conjecture 3. 双曲的曲線に対する uniform 版 Vojta 不等式
予想3で述べられているように、代数体の拡大次数に関する Vojta 不等式の uniform 版は
分岐被覆上でうまく振舞い ([GenEll、Proposition 1.7] または [BG06、Theorem 14.416] を参照)
そして、実は望月氏の証明から従うものと主張されています。
Voijta 予想と abc 予想の関連性については [BG06、§12–§14] を参照してください。
- 38 ：
- >>37 の続き
1.2. Frey 曲線
[Belyi、Theorem 2.5] における Belyi 写像を使用すると、予想3を楕円曲線のmoduliスタック
つまり代数体上の楕円曲線の場合に落とし込むことができます。
この場合における不平等の形は Szpiro 予想として提起されているものです。
より正確には、[GenEll、Theorem 2.1 and§3、§4] において、望月氏は
任意の整数 d≥1と [k：Q]≤d を満たす代数体 k および以下の条件(1),(2),(3)を満たす
任意の楕円曲線 E/kの場合に落とし込むことができることを説明しています。
条件(1),(2),(3)
上記の設定では、個別に処理できる楕円曲線の例外的なリスト
(core を持たないものや虚数乗法を持つものなど) が欠落しています。
Claim 6 [IUTT-4, Theorem 1.10]の主張
- 39 ：
- >>38 の続き
1.3. いかに IUTT が不等式を導出するか
[IUTT-4, Theorem 1.10] において、[IUTT-3, Corollary 3.12] の主な主張
(1.4) − |log(q)| ≤ −|log(Θ)|
を導出するある不等式から Claim 6 を導いています。
(1.4) における記号は、単に「何かの対数の絶対値を引いたもの」ではなく、[IUTT-3、Corollary 3.12] で定義した明確な関与の意味を持つことに注意してください。
実は（1.4）の左辺は、−|log(q)| = − deg(q_E) = −1/2 * deg(q_E) に他なりません。(1.4) の右辺は、左辺の本質的な近似となっています。
(1.5) −|log(Θ)| ≈ d(P) や j^2, [k : Q] などを含む式
1/6 * deg(q_E) を解いた後、これを（1.4）に代入すると、不等式1/6 * deg(q_E) ＜ 定数*d(P) を得ます。
＜ の不定性は、右辺の線形項で処理されるため、Claim 6 の証明が得られます。
さらに [IUTT-3、Corollary 3.12] において（1.5）から次の不等式を証明しています。
係数j ^ 2が欠落していることに注意してください。
(1.6) −|log(Θ)| ≈ (1.6)の右辺からj ^ 2を欠落させた式
修正された不等式から出発して、我々は本質的に意味のない不等式 0＜d(P) を得ました。
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