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- 71 ：
- スレ27 #795 の一般化をトライ
縦Mマス、横Nマスのフィールド{(x,y)|x∈{1,…,N},y∈{1,…,M}}の相異なる2マスに宝を置き、
縦優先検索((1,1)→…→(1,N)→(2,1)→…)のPと
横優先検索((1,1)→…→(M,1)→(1,2)→…)のQとで
先にいずれかの宝を見つけたほうが勝ちとするゲーム
宝の置かれるパターンの数=MN(MN-1)/2に対して、
P,Qそれぞれの勝つパターンの数をP(M,N),Q(M,N)とする
と言っても、いきなり一般化は難しいので、まずは片方のパラメータを固定していくつか計算してみる
n≡0 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n )/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+4)/4
n≡1 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n+1)/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+5)/4
n≡0 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n )/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 6)/6
n≡1 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n+1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+10)/6
n≡2 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+2)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 8)/6
n≡3 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-3)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 6)/6
n≡4 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+4)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+10)/6
n≡5 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 8)/6
こうしてみるとそれぞれ周期性がありそう。
その気になれば多項式と指数関数の組み合わせで書けるのかもしれない。
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