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こんな板復活させなくてよかったのに
- 312 ：
- >>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。
[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、
sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0 … (1)
が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、
inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。
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