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- 199 ：
- 準備
>>191 修正再録
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
|f(x)-f(y)|<= k|x-y|
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)
- 200 ：
- 準備追加
（>>13より）f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
(引用終り)
「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)
- 201 ：
- あとは後ほど（＾＾
- 202 ：
- 準備追加2
(>>169 追加引用)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
定義[編集]
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる[1]）は、
f'_{+}(t) def＝ limsup _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は
f'_{-}(t) def＝ liminf _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで liminf は下極限を表す。
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や -∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
D 記法と追加の定義
しばしば f'_{+}(t) の代わりに D^{+}f(t), f'_{-}(t)の代わりに D_{+}f(t) が記号として用いられ[1]、また
D^{-}f(t) def＝limsup _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h, D_{-}f(t) def＝liminf _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h
が定義される。
つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。
(引用終り)
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