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☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題35
- 1 ：2019/11/06 〜 最終レス ：2020/05/08
- ★次スレは、>>980 を踏んだ人が立ててください
学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
ネタバレ批判は大数本誌のスレなどでお願いします。
演習書等は関連スレを参考にしてください。
関連スレ
【勝利の特別選抜】大数ゼミ７【安心の化学集中】
http://maguro.2ch.sc/test/read.cgi/juku/1490529012/
■■■新数学スタンダード演習＆新数学演習３■■■
http://nozomi.2ch.sc/test/read.cgi/kouri/1476241885/
【大学への】1対1対応の演習 part37【数学】
http://nozomi.2ch.sc/test/read.cgi/kouri/1497949890/
前スレ
☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題34
http://nozomi.2ch.sc/test/read.cgi/kouri/1566739676/150
- 2 ：
- >>1
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 3 ：
- >>2
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 4 ：
- >>3
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 5 ：
- >>4
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 6 ：
- >>5
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 7 ：
- >>6
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- 8 ：
- >>7
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 9 ：
- >>8
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 10 ：
- >>9
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- 11 ：
- >>10
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- 12 ：
- >>11
以下は2019年時点のもの。
1対1対応の演習 (数学I, A, II, B, III複素数平面、III微積分)
プレ・1対1対応の演習](数学I, A, II, B)
教科書NEXT (ベクトル、数列、図形と方程式、三角比と図形)
センター試験必勝マニュアル (数学IA, IIB, 現代文、古文、漢文、古文・漢文)
この問題が合否を決める！
分野別重点シリーズ (マスター・オブ・整数、マスター・オブ・場合の数)
ちょっと差がつくうまい解法
東大数学で1点でも多く取る方法 (理系、文系)
解決へのアプローチ
発展していく三角関数
思考力を鍛える不等式
方針をどう立てるか
数学を決める論証力
ハッとめざめる確率 (第2版）
解法の探求・微積分
解法の探求／確率
微積分／基礎の極意
解法の突破口 (第3版）
入試のツボを押さえる 重点学習／数学IAIIB
数学IIIの入試基礎 講義と演習
数学ショートプログラム
ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング/数学IA
入試物理プラス
ポケット日日の演習 (ベクトル・座標、数列・整数、場合の数・確率）
考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ - 新作問題演習の後継。
もっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ - 新作問題演習の後継。
考え抜く数学・理系 ~学コンに挑戦~ - 理系・新作問題演習の後継。
- 13 ：
- >>12
以下は2019年時点のもの。
1対1対応の演習 (数学I, A, II, B, III複素数平面、III微積分)
プレ・1対1対応の演習](数学I, A, II, B)
教科書NEXT (ベクトル、数列、図形と方程式、三角比と図形)
センター試験必勝マニュアル (数学IA, IIB, 現代文、古文、漢文、古文・漢文)
この問題が合否を決める！
分野別重点シリーズ (マスター・オブ・整数、マスター・オブ・場合の数)
ちょっと差がつくうまい解法
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解決へのアプローチ
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方針をどう立てるか
数学を決める論証力
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- 14 ：
- >>13
以下は2019年時点のもの。
1対1対応の演習 (数学I, A, II, B, III複素数平面、III微積分)
プレ・1対1対応の演習](数学I, A, II, B)
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- 15 ：
- >>14
以下は2019年時点のもの。
1対1対応の演習 (数学I, A, II, B, III複素数平面、III微積分)
プレ・1対1対応の演習](数学I, A, II, B)
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方針をどう立てるか
数学を決める論証力
ハッとめざめる確率 (第2版）
解法の探求・微積分
解法の探求／確率
微積分／基礎の極意
解法の突破口 (第3版）
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- 16 ：
- なかがわひろしｗｗｗ
- 17 ：
- 自演の神様ｗｗｗ
まだいたのかｗｗｗ
- 18 ：
- >>17
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- 19 ：
- >>18
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- 20 ：
- >>19
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- 21 ：
- >>20
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- 22 ：
- >>21
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- 23 ：
- >>22
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- 24 ：
- >>23
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- 25 ：
- >>24
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- 26 ：
- >>25
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- 27 ：
- >>26
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- 28 ：
- >>27
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- 29 ：
- >>28
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- 30 ：
- >>29
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 31 ：
- >>30
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 32 ：
- >>31
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 33 ：
- >>32
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 34 ：
- >>33
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 35 ：
- >>34
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 36 ：
- >>35
あああああああああああああああああああああああああああああああ！！！！！！！！！！！(ﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘﾌﾞﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭﾘｭ！！！！！！ﾌﾞﾂﾁﾁﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾁﾁﾁﾁﾌﾞﾘﾘｲﾘﾌﾞﾌﾞﾌﾞﾌﾞｩｩｩｩｯｯｯ！！！！！！！)
- 37 ：
- >>36
行列は多変数の一次の関係式で表される関係を簡潔に記述するために用いられ、
連立一次方程式の解法の研究の過程で見出された。
行列の記法は、ケイリー、シルヴェスター、フロベニウス、アイゼンシュタイン、エルミートがそれぞれ同時期に提唱した。
最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、
学会からはなかなか注目されず、
ケイリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、
ケイリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。
連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線型代数学は、
高次元の真っ直ぐな空間（現代的にいえばベクトル空間）の幾何について研究する学問であると言うことができる。
このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、
線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。
これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、
多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。
無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。
これは、無限次元のベクトル空間がある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。
応用は多岐に渡るが、経済学に登場する産業連関表や、
量子力学において物理量を行列として表現する手法など、
20世紀以降の社会科学、自然科学において、行列が果たす役割は大きい。
和算家の関孝和も現代でいう行列式に当たるもの(関孝和 1683)を独自に開発・研究していた[3]。
線型代数学においては、連立1次方程式の各式は空間内に張られた平面を表しており、
その平面同士の交わる領域が連立方程式の解であると説明される。
各平面の交わる領域が1点となる場合のみ解が一意に定まり、
交わる領域が線の場合に解は無数に存在し、
交わる領域が無い場合(例:全ての平面が平行である場合)には解は存在しない。
どのように解が存在するかは線型独立な生成元の数を示す拡大係数行列の階数で判定可能である。
- 38 ：
- >>37
行列は多変数の一次の関係式で表される関係を簡潔に記述するために用いられ、
連立一次方程式の解法の研究の過程で見出された。
行列の記法は、ケイリー、シルヴェスター、フロベニウス、アイゼンシュタイン、エルミートがそれぞれ同時期に提唱した。
最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、
学会からはなかなか注目されず、
ケイリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、
ケイリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。
連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線型代数学は、
高次元の真っ直ぐな空間（現代的にいえばベクトル空間）の幾何について研究する学問であると言うことができる。
このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、
線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。
これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、
多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。
無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。
これは、無限次元のベクトル空間がある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。
応用は多岐に渡るが、経済学に登場する産業連関表や、
量子力学において物理量を行列として表現する手法など、
20世紀以降の社会科学、自然科学において、行列が果たす役割は大きい。
和算家の関孝和も現代でいう行列式に当たるもの(関孝和 1683)を独自に開発・研究していた[3]。
線型代数学においては、連立1次方程式の各式は空間内に張られた平面を表しており、
その平面同士の交わる領域が連立方程式の解であると説明される。
各平面の交わる領域が1点となる場合のみ解が一意に定まり、
交わる領域が線の場合に解は無数に存在し、
交わる領域が無い場合(例:全ての平面が平行である場合)には解は存在しない。
どのように解が存在するかは線型独立な生成元の数を示す拡大係数行列の階数で判定可能である。
- 39 ：
- >>38
行列は多変数の一次の関係式で表される関係を簡潔に記述するために用いられ、
連立一次方程式の解法の研究の過程で見出された。
行列の記法は、ケイリー、シルヴェスター、フロベニウス、アイゼンシュタイン、エルミートがそれぞれ同時期に提唱した。
最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、
学会からはなかなか注目されず、
ケイリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、
ケイリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。
連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線型代数学は、
高次元の真っ直ぐな空間（現代的にいえばベクトル空間）の幾何について研究する学問であると言うことができる。
このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、
線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。
これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、
多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。
無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。
これは、無限次元のベクトル空間がある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。
応用は多岐に渡るが、経済学に登場する産業連関表や、
量子力学において物理量を行列として表現する手法など、
20世紀以降の社会科学、自然科学において、行列が果たす役割は大きい。
和算家の関孝和も現代でいう行列式に当たるもの(関孝和 1683)を独自に開発・研究していた[3]。
線型代数学においては、連立1次方程式の各式は空間内に張られた平面を表しており、
その平面同士の交わる領域が連立方程式の解であると説明される。
各平面の交わる領域が1点となる場合のみ解が一意に定まり、
交わる領域が線の場合に解は無数に存在し、
交わる領域が無い場合(例:全ての平面が平行である場合)には解は存在しない。
どのように解が存在するかは線型独立な生成元の数を示す拡大係数行列の階数で判定可能である。
- 40 ：
- >>39
行列は多変数の一次の関係式で表される関係を簡潔に記述するために用いられ、
連立一次方程式の解法の研究の過程で見出された。
行列の記法は、ケイリー、シルヴェスター、フロベニウス、アイゼンシュタイン、エルミートがそれぞれ同時期に提唱した。
最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、
学会からはなかなか注目されず、
ケイリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった（シルヴェスターが個別に発見したのか、
ケイリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない）。
連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線型代数学は、
高次元の真っ直ぐな空間（現代的にいえばベクトル空間）の幾何について研究する学問であると言うことができる。
このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、
線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。
これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、
多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。
無限次元の線型代数学は関数解析学と呼ばれる。
これは、無限次元のベクトル空間がある空間上の関数全体の集合として典型的に現れるからである。
応用は多岐に渡るが、経済学に登場する産業連関表や、
量子力学において物理量を行列として表現する手法など、
20世紀以降の社会科学、自然科学において、行列が果たす役割は大きい。
和算家の関孝和も現代でいう行列式に当たるもの(関孝和 1683)を独自に開発・研究していた[3]。
線型代数学においては、連立1次方程式の各式は空間内に張られた平面を表しており、
その平面同士の交わる領域が連立方程式の解であると説明される。
各平面の交わる領域が1点となる場合のみ解が一意に定まり、
交わる領域が線の場合に解は無数に存在し、
交わる領域が無い場合(例:全ての平面が平行である場合)には解は存在しない。
どのように解が存在するかは線型独立な生成元の数を示す拡大係数行列の階数で判定可能である。
- 41 ：
- >>40
線型代数の歴史は線型方程式系を行列式を用いて解くという研究からはじまった。
歴史的には行列式は行列より以前に現れている。
西洋の数学史において、行列式はライプニッツが1693年により用いられたのが最初であり、
その後、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式」で線型方程式系を解く方法を1750年に編み出した。
更に後年になってガウスが測地学の研究から「ガウスの消去法」を用いて線型方程式系を解く方法を開発した[4]。
おそらく1860年代には行列式の公理的な定義がワイエルシュトラスとクロネッカーによって与えられていた[5]。
最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。
1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、
この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。
1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するwombからmatrix(行列)という用語を導入した。
線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した[6]。
重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、
行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。
ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、
私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている[4]。
1882年、パーシャ（トルコ語版、ピエモンテ語版、英語版）は "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した[7][要検証 – ノート][8]。
公理的な（実数体上の）線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ[9]、
1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。
線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、
ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。
量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、
純粋数学を超えて応用されていった。
コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、
モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている[4]。
- 42 ：
- >>41
線型代数の歴史は線型方程式系を行列式を用いて解くという研究からはじまった。
歴史的には行列式は行列より以前に現れている。
西洋の数学史において、行列式はライプニッツが1693年により用いられたのが最初であり、
その後、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式」で線型方程式系を解く方法を1750年に編み出した。
更に後年になってガウスが測地学の研究から「ガウスの消去法」を用いて線型方程式系を解く方法を開発した[4]。
おそらく1860年代には行列式の公理的な定義がワイエルシュトラスとクロネッカーによって与えられていた[5]。
最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。
1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、
この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。
1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するwombからmatrix(行列)という用語を導入した。
線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した[6]。
重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、
行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。
ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、
私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている[4]。
1882年、パーシャ（トルコ語版、ピエモンテ語版、英語版）は "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した[7][要検証 – ノート][8]。
公理的な（実数体上の）線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ[9]、
1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。
線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、
ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。
量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、
純粋数学を超えて応用されていった。
コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、
モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている[4]。
- 43 ：
- >>42
線型代数の歴史は線型方程式系を行列式を用いて解くという研究からはじまった。
歴史的には行列式は行列より以前に現れている。
西洋の数学史において、行列式はライプニッツが1693年により用いられたのが最初であり、
その後、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式」で線型方程式系を解く方法を1750年に編み出した。
更に後年になってガウスが測地学の研究から「ガウスの消去法」を用いて線型方程式系を解く方法を開発した[4]。
おそらく1860年代には行列式の公理的な定義がワイエルシュトラスとクロネッカーによって与えられていた[5]。
最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。
1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、
この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。
1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するwombからmatrix(行列)という用語を導入した。
線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した[6]。
重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、
行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。
ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、
私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている[4]。
1882年、パーシャ（トルコ語版、ピエモンテ語版、英語版）は "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した[7][要検証 – ノート][8]。
公理的な（実数体上の）線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ[9]、
1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。
線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、
ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。
量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、
純粋数学を超えて応用されていった。
コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、
モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている[4]。
- 44 ：
- >>44
線型代数の歴史は線型方程式系を行列式を用いて解くという研究からはじまった。
歴史的には行列式は行列より以前に現れている。
西洋の数学史において、行列式はライプニッツが1693年により用いられたのが最初であり、
その後、ガブリエル・クラメルがいわゆる「クラメルの公式」で線型方程式系を解く方法を1750年に編み出した。
更に後年になってガウスが測地学の研究から「ガウスの消去法」を用いて線型方程式系を解く方法を開発した[4]。
おそらく1860年代には行列式の公理的な定義がワイエルシュトラスとクロネッカーによって与えられていた[5]。
最初に行列代数(matrix algebra)の研究が現れたのは1800年代半ばのイングランドであるとされる。
1844年、グラスマンは著書「Theory of Extension(拡大の理論)」を出版し、
この本には今日の線型代数学の基本概念に相当する(当時としては)新しい内容が含まれていた。
1848年、シルベスターがラテン語で子宮を意味するwombからmatrix(行列)という用語を導入した。
線型変換の構成に関する研究全体で、ケイリーは行列の積と逆行列の概念定義した[6]。
重要なのは、ケイリーが一つの文字で行列を表記する方法を使ったため、
行列が文字を縦横に並べた集合体として扱われたことである。
ケイリーはまた行列と行列式との関係を認識しており、「行列の理論はいろいろあるが、
私に言わせれば、行列式の理論よりも重要である」と述べている[4]。
1882年、パーシャ（トルコ語版、ピエモンテ語版、英語版）は "Linear Algebra"(線型代数)と名付けられた本を出版した[7][要検証 – ノート][8]。
公理的な（実数体上の）線型空間の定義や線型変換の定義はペアノによって1888年に与えられ[9]、
1900年までには有限次元ベクトル空間の理論が現れた。
線型代数が最初に現代化されるのは20世紀の初めの四半世紀であり、
ここで多くのアイデアと前世紀に誕生した抽象代数学の概念が導入されていくこととなる。
量子力学における行列の使用、特殊相対論、統計学における利用の広がりなど、
純粋数学を超えて応用されていった。
コンピュータの登場でガウスの消去法の効率的アルゴリズムの研究や、
モデルの定式化やシミュレーションなどにも線型代数は必須の道具となっている[4]。
- 45 ：
- >>44
ベクトル空間（線型空間）- ベクトル - 線型部分空間
数ベクトル空間
ユークリッド空間 - アファイン空間
内積空間
内積 - エルミート内積 - 直交補空間 - 直交射影
線型結合（一次結合）
線型従属（一次従属）- 線型独立（一次独立）
基底 - 標準基底 - 次元 - グラム・シュミットの正規直交化法
行列
実行列 - 複素行列
正方行列 - 正則行列 (GL(n, R), GL(n, C)) - 逆行列 - 単位行列（スカラー行列） - 零行列 - 冪零行列
対角行列 - 三角行列（上三角行列、下三角行列）
転置行列 - 随伴行列
直交行列 (O(n)) - 特殊直交行列 (SO(n)) - ユニタリ行列 (U(n)) - 特殊ユニタリー行列 (SU(n)) - シンプレクティック行列 (Sp(n)) - 行列指数関数
対称行列 - 反対称行列（歪対称行列） - エルミート行列 - 歪エルミート行列（反エルミート行列） - 正規行列
置換行列 - 隣接行列
行列式
置換 - 小行列式 - 余因子展開 - ヤコビアン - 関数行列
線型方程式系（連立一次方程式）
行列の基本変形 - クラメールの公式 - シルベスター行列
線型変換（一次変換）
線型写像（線型変換） - 相似 - 成分行列
階数 - 像 - 核（核空間）
対角化 - スペクトル分解 - ジョルダン標準形 - 特異値分解
固有空間
固有値 - 固有ベクトル - フロベニウスの定理 - 固有多項式（固有方程式） - 最小多項式 - ケイリー・ハミルトンの定理 - 縮退
テンソル
双対空間 - 双線型形式 - 対称形式 - エルミート形式 - テンソル代数 - グラスマン代数
- 46 ：
- >>45
ベクトル空間（線型空間）- ベクトル - 線型部分空間
数ベクトル空間
ユークリッド空間 - アファイン空間
内積空間
内積 - エルミート内積 - 直交補空間 - 直交射影
線型結合（一次結合）
線型従属（一次従属）- 線型独立（一次独立）
基底 - 標準基底 - 次元 - グラム・シュミットの正規直交化法
行列
実行列 - 複素行列
正方行列 - 正則行列 (GL(n, R), GL(n, C)) - 逆行列 - 単位行列（スカラー行列） - 零行列 - 冪零行列
対角行列 - 三角行列（上三角行列、下三角行列）
転置行列 - 随伴行列
直交行列 (O(n)) - 特殊直交行列 (SO(n)) - ユニタリ行列 (U(n)) - 特殊ユニタリー行列 (SU(n)) - シンプレクティック行列 (Sp(n)) - 行列指数関数
対称行列 - 反対称行列（歪対称行列） - エルミート行列 - 歪エルミート行列（反エルミート行列） - 正規行列
置換行列 - 隣接行列
行列式
置換 - 小行列式 - 余因子展開 - ヤコビアン - 関数行列
線型方程式系（連立一次方程式）
行列の基本変形 - クラメールの公式 - シルベスター行列
線型変換（一次変換）
線型写像（線型変換） - 相似 - 成分行列
階数 - 像 - 核（核空間）
対角化 - スペクトル分解 - ジョルダン標準形 - 特異値分解
固有空間
固有値 - 固有ベクトル - フロベニウスの定理 - 固有多項式（固有方程式） - 最小多項式 - ケイリー・ハミルトンの定理 - 縮退
テンソル
双対空間 - 双線型形式 - 対称形式 - エルミート形式 - テンソル代数 - グラスマン代数
- 47 ：
- >>46
ベクトル空間（線型空間）- ベクトル - 線型部分空間
数ベクトル空間
ユークリッド空間 - アファイン空間
内積空間
内積 - エルミート内積 - 直交補空間 - 直交射影
線型結合（一次結合）
線型従属（一次従属）- 線型独立（一次独立）
基底 - 標準基底 - 次元 - グラム・シュミットの正規直交化法
行列
実行列 - 複素行列
正方行列 - 正則行列 (GL(n, R), GL(n, C)) - 逆行列 - 単位行列（スカラー行列） - 零行列 - 冪零行列
対角行列 - 三角行列（上三角行列、下三角行列）
転置行列 - 随伴行列
直交行列 (O(n)) - 特殊直交行列 (SO(n)) - ユニタリ行列 (U(n)) - 特殊ユニタリー行列 (SU(n)) - シンプレクティック行列 (Sp(n)) - 行列指数関数
対称行列 - 反対称行列（歪対称行列） - エルミート行列 - 歪エルミート行列（反エルミート行列） - 正規行列
置換行列 - 隣接行列
行列式
置換 - 小行列式 - 余因子展開 - ヤコビアン - 関数行列
線型方程式系（連立一次方程式）
行列の基本変形 - クラメールの公式 - シルベスター行列
線型変換（一次変換）
線型写像（線型変換） - 相似 - 成分行列
階数 - 像 - 核（核空間）
対角化 - スペクトル分解 - ジョルダン標準形 - 特異値分解
固有空間
固有値 - 固有ベクトル - フロベニウスの定理 - 固有多項式（固有方程式） - 最小多項式 - ケイリー・ハミルトンの定理 - 縮退
テンソル
双対空間 - 双線型形式 - 対称形式 - エルミート形式 - テンソル代数 - グラスマン代数
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- >>47
ベクトル空間（線型空間）- ベクトル - 線型部分空間
数ベクトル空間
ユークリッド空間 - アファイン空間
内積空間
内積 - エルミート内積 - 直交補空間 - 直交射影
線型結合（一次結合）
線型従属（一次従属）- 線型独立（一次独立）
基底 - 標準基底 - 次元 - グラム・シュミットの正規直交化法
行列
実行列 - 複素行列
正方行列 - 正則行列 (GL(n, R), GL(n, C)) - 逆行列 - 単位行列（スカラー行列） - 零行列 - 冪零行列
対角行列 - 三角行列（上三角行列、下三角行列）
転置行列 - 随伴行列
直交行列 (O(n)) - 特殊直交行列 (SO(n)) - ユニタリ行列 (U(n)) - 特殊ユニタリー行列 (SU(n)) - シンプレクティック行列 (Sp(n)) - 行列指数関数
対称行列 - 反対称行列（歪対称行列） - エルミート行列 - 歪エルミート行列（反エルミート行列） - 正規行列
置換行列 - 隣接行列
行列式
置換 - 小行列式 - 余因子展開 - ヤコビアン - 関数行列
線型方程式系（連立一次方程式）
行列の基本変形 - クラメールの公式 - シルベスター行列
線型変換（一次変換）
線型写像（線型変換） - 相似 - 成分行列
階数 - 像 - 核（核空間）
対角化 - スペクトル分解 - ジョルダン標準形 - 特異値分解
固有空間
固有値 - 固有ベクトル - フロベニウスの定理 - 固有多項式（固有方程式） - 最小多項式 - ケイリー・ハミルトンの定理 - 縮退
テンソル
双対空間 - 双線型形式 - 対称形式 - エルミート形式 - テンソル代数 - グラスマン代数
- 49 ：
- >>48
脚注[編集]
^ (長岡亮介 2003, p. 9)によれば、線形とすると線の形を扱う数学と誤解される危険性があるとのことである。
^ http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/03/30/1304427_002.pdf
^ a b 佐藤 & 小松 2004.
^ a b c Vitulli, Marie. “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”. 2015年7月29日閲覧。
^ Kleiner 2007, p. 81.
^ Kleiner 2007, p. 82.
^ http://www.journals.istanbul.edu.tr/tr/index.php/oba/article/download/9103/8452
^ http://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog
^ Broubaki 1994, p. 66.
参考文献[編集]
関孝和『解伏題之法』古典数学書院、1937年（原著1683年）、復刻版。NDLJP:1144574。
Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語). Linear algebra (2nd ed.). ?stanbul: A. H. Boyajian.
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1982年。ISBN 4-7853-1301-3。
Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6.
長岡亮介『線型代数入門』放送大学教育振興会、2003年。ISBN 4-595-23669-7。
Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4.
佐藤, 賢一、小松, 彦三郎「関孝和の行列式の再検討」『数理解析研究所講究録』第1392巻、2004年、 214-224頁、 NAID 110006471628。
- 50 ：
- >>49
脚注[編集]
^ (長岡亮介 2003, p. 9)によれば、線形とすると線の形を扱う数学と誤解される危険性があるとのことである。
^ http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/03/30/1304427_002.pdf
^ a b 佐藤 & 小松 2004.
^ a b c Vitulli, Marie. “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”. 2015年7月29日閲覧。
^ Kleiner 2007, p. 81.
^ Kleiner 2007, p. 82.
^ http://www.journals.istanbul.edu.tr/tr/index.php/oba/article/download/9103/8452
^ http://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog
^ Broubaki 1994, p. 66.
参考文献[編集]
関孝和『解伏題之法』古典数学書院、1937年（原著1683年）、復刻版。NDLJP:1144574。
Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語). Linear algebra (2nd ed.). ?stanbul: A. H. Boyajian.
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1982年。ISBN 4-7853-1301-3。
Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6.
長岡亮介『線型代数入門』放送大学教育振興会、2003年。ISBN 4-595-23669-7。
Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4.
佐藤, 賢一、小松, 彦三郎「関孝和の行列式の再検討」『数理解析研究所講究録』第1392巻、2004年、 214-224頁、 NAID 110006471628。
- 51 ：
- >>50
脚注[編集]
^ (長岡亮介 2003, p. 9)によれば、線形とすると線の形を扱う数学と誤解される危険性があるとのことである。
^ http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/03/30/1304427_002.pdf
^ a b 佐藤 & 小松 2004.
^ a b c Vitulli, Marie. “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”. 2015年7月29日閲覧。
^ Kleiner 2007, p. 81.
^ Kleiner 2007, p. 82.
^ http://www.journals.istanbul.edu.tr/tr/index.php/oba/article/download/9103/8452
^ http://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog
^ Broubaki 1994, p. 66.
参考文献[編集]
関孝和『解伏題之法』古典数学書院、1937年（原著1683年）、復刻版。NDLJP:1144574。
Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語). Linear algebra (2nd ed.). ?stanbul: A. H. Boyajian.
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1982年。ISBN 4-7853-1301-3。
Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6.
長岡亮介『線型代数入門』放送大学教育振興会、2003年。ISBN 4-595-23669-7。
Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4.
佐藤, 賢一、小松, 彦三郎「関孝和の行列式の再検討」『数理解析研究所講究録』第1392巻、2004年、 214-224頁、 NAID 110006471628。
- 52 ：
- >>51
脚注[編集]
^ (長岡亮介 2003, p. 9)によれば、線形とすると線の形を扱う数学と誤解される危険性があるとのことである。
^ http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2011/03/30/1304427_002.pdf
^ a b 佐藤 & 小松 2004.
^ a b c Vitulli, Marie. “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”. 2015年7月29日閲覧。
^ Kleiner 2007, p. 81.
^ Kleiner 2007, p. 82.
^ http://www.journals.istanbul.edu.tr/tr/index.php/oba/article/download/9103/8452
^ http://archive.org/details/linearalgebra00tevfgoog
^ Broubaki 1994, p. 66.
参考文献[編集]
関孝和『解伏題之法』古典数学書院、1937年（原著1683年）、復刻版。NDLJP:1144574。
Pacha, Hussein Tevfik (1892) (英語). Linear algebra (2nd ed.). ?stanbul: A. H. Boyajian.
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1982年。ISBN 4-7853-1301-3。
Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-64767-6.
長岡亮介『線型代数入門』放送大学教育振興会、2003年。ISBN 4-595-23669-7。
Kleiner, I. (2007). A History of Abstract Algebra. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4684-4.
佐藤, 賢一、小松, 彦三郎「関孝和の行列式の再検討」『数理解析研究所講究録』第1392巻、2004年、 214-224頁、 NAID 110006471628。
- 53 ：
- なかがわ
- 54 ：
- ひろし
- 55 ：
- ＠エール出版
- 56 ：
- 自演ｗｗｗ
これしかできんｗｗｗ
- 57 ：
- 代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、
多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である[1]。
大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。
前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。
20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、
これが代数幾何学の始まりとなったといえる。
例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、
これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。
このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、
多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。
- 58 ：
- >>57
代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、
多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である[1]。
大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。
前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。
20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、
これが代数幾何学の始まりとなったといえる。
例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、
これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。
このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、
多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。
- 59 ：
- >>58
代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、
多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である[1]。
大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。
前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。
20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、
これが代数幾何学の始まりとなったといえる。
例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、
これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。
このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、
多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。
- 60 ：
- >>59
代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、
多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である[1]。
大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。
前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。
20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、
これが代数幾何学の始まりとなったといえる。
例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、
これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。
このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、
多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。
- 61 ：
- >>60
曲線のような低次元の多様体の場合、
分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。
当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。
2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、
特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。
3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、
3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。
しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、
以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、
19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。
20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、
1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
- 62 ：
- >>61
曲線のような低次元の多様体の場合、
分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。
当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。
2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、
特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。
3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、
3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。
しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、
以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、
19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。
20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、
1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
- 63 ：
- >>62
曲線のような低次元の多様体の場合、
分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。
当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。
2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、
特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。
3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、
3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。
しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、
以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、
19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。
20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、
1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
- 64 ：
- >>63
曲線のような低次元の多様体の場合、
分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。
当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。
2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、
特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。
3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、
3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。
しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、
以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、
19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。
20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、
1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
- 65 ：
- >>64
計算代数幾何学[編集]
計算代数幾何学（英：computational algebraic geometry）の始まりは1979年6月にフランスの
マルセイユで開かれたEUROSAM '79（International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation）
を年代として推定できるかもしれない。
この会議では、ジョージ・E.コリンズ（英語版）の円柱的代数的分解（英語版）（CAD）が
半代数的集合（英：semi-algebraic set）の位相の計算を可能にすることをデニス・アーノン
（英：Dennis S. Arnon）は示した。
ブルーノ・ブッフベルガー（英語版）はグレブナー基底とそれを計算する彼のアルゴリズムを提示した。
ダニエル・ラザード（英語版）は同時多項式の方程式の系を解くための新しいアルゴリズムを提示した。
それは見込まれた解の数において本質的に多項式的であり、したがってその未知数の数において、
単純に指数的なものである、計算複雑性による。
このアルゴリズムはマッカーレイ（英語版）の多変数終結式と深く関係する。
以来、この分野での多くの結果はこれらのアルゴリズムのひとつを使用または証明することのどちらかによって、
または未知数の数において単純に指数的な複雑性であるアルゴリズムの発見によって、
それらの項目の一つないし幾つかと関係した。
記号的な方法を補完する数値代数幾何学（英語版）と呼ばれる数学的な理論の本体は過去数十年にわたって発展してきた。
その主な電子計算上の方法はホモトピー連続（英語版）である。
これは、例えば、代数幾何学の問題を解くための浮動小数点数の電子計算の或るモデルを支える。
他分野との関係[編集]
代数幾何学はそもそも、多項式の零点のなすような図形を代数多様体として研究する学問であったが、
現代では数理物理学[2][3]・可積分系[4][5][6][7][8]との関係や、機械学習への応用が研究されている[9][10]。
- 66 ：
- >>65
計算代数幾何学[編集]
計算代数幾何学（英：computational algebraic geometry）の始まりは1979年6月にフランスの
マルセイユで開かれたEUROSAM '79（International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation）
を年代として推定できるかもしれない。
この会議では、ジョージ・E.コリンズ（英語版）の円柱的代数的分解（英語版）（CAD）が
半代数的集合（英：semi-algebraic set）の位相の計算を可能にすることをデニス・アーノン
（英：Dennis S. Arnon）は示した。
ブルーノ・ブッフベルガー（英語版）はグレブナー基底とそれを計算する彼のアルゴリズムを提示した。
ダニエル・ラザード（英語版）は同時多項式の方程式の系を解くための新しいアルゴリズムを提示した。
それは見込まれた解の数において本質的に多項式的であり、したがってその未知数の数において、
単純に指数的なものである、計算複雑性による。
このアルゴリズムはマッカーレイ（英語版）の多変数終結式と深く関係する。
以来、この分野での多くの結果はこれらのアルゴリズムのひとつを使用または証明することのどちらかによって、
または未知数の数において単純に指数的な複雑性であるアルゴリズムの発見によって、
それらの項目の一つないし幾つかと関係した。
記号的な方法を補完する数値代数幾何学（英語版）と呼ばれる数学的な理論の本体は過去数十年にわたって発展してきた。
その主な電子計算上の方法はホモトピー連続（英語版）である。
これは、例えば、代数幾何学の問題を解くための浮動小数点数の電子計算の或るモデルを支える。
他分野との関係[編集]
代数幾何学はそもそも、多項式の零点のなすような図形を代数多様体として研究する学問であったが、
現代では数理物理学[2][3]・可積分系[4][5][6][7][8]との関係や、機械学習への応用が研究されている[9][10]。
- 67 ：
- >>66
計算代数幾何学[編集]
計算代数幾何学（英：computational algebraic geometry）の始まりは1979年6月にフランスの
マルセイユで開かれたEUROSAM '79（International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation）
を年代として推定できるかもしれない。
この会議では、ジョージ・E.コリンズ（英語版）の円柱的代数的分解（英語版）（CAD）が
半代数的集合（英：semi-algebraic set）の位相の計算を可能にすることをデニス・アーノン
（英：Dennis S. Arnon）は示した。
ブルーノ・ブッフベルガー（英語版）はグレブナー基底とそれを計算する彼のアルゴリズムを提示した。
ダニエル・ラザード（英語版）は同時多項式の方程式の系を解くための新しいアルゴリズムを提示した。
それは見込まれた解の数において本質的に多項式的であり、したがってその未知数の数において、
単純に指数的なものである、計算複雑性による。
このアルゴリズムはマッカーレイ（英語版）の多変数終結式と深く関係する。
以来、この分野での多くの結果はこれらのアルゴリズムのひとつを使用または証明することのどちらかによって、
または未知数の数において単純に指数的な複雑性であるアルゴリズムの発見によって、
それらの項目の一つないし幾つかと関係した。
記号的な方法を補完する数値代数幾何学（英語版）と呼ばれる数学的な理論の本体は過去数十年にわたって発展してきた。
その主な電子計算上の方法はホモトピー連続（英語版）である。
これは、例えば、代数幾何学の問題を解くための浮動小数点数の電子計算の或るモデルを支える。
他分野との関係[編集]
代数幾何学はそもそも、多項式の零点のなすような図形を代数多様体として研究する学問であったが、
現代では数理物理学[2][3]・可積分系[4][5][6][7][8]との関係や、機械学習への応用が研究されている[9][10]。
- 68 ：
- >>67
計算代数幾何学[編集]
計算代数幾何学（英：computational algebraic geometry）の始まりは1979年6月にフランスの
マルセイユで開かれたEUROSAM '79（International Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation）
を年代として推定できるかもしれない。
この会議では、ジョージ・E.コリンズ（英語版）の円柱的代数的分解（英語版）（CAD）が
半代数的集合（英：semi-algebraic set）の位相の計算を可能にすることをデニス・アーノン
（英：Dennis S. Arnon）は示した。
ブルーノ・ブッフベルガー（英語版）はグレブナー基底とそれを計算する彼のアルゴリズムを提示した。
ダニエル・ラザード（英語版）は同時多項式の方程式の系を解くための新しいアルゴリズムを提示した。
それは見込まれた解の数において本質的に多項式的であり、したがってその未知数の数において、
単純に指数的なものである、計算複雑性による。
このアルゴリズムはマッカーレイ（英語版）の多変数終結式と深く関係する。
以来、この分野での多くの結果はこれらのアルゴリズムのひとつを使用または証明することのどちらかによって、
または未知数の数において単純に指数的な複雑性であるアルゴリズムの発見によって、
それらの項目の一つないし幾つかと関係した。
記号的な方法を補完する数値代数幾何学（英語版）と呼ばれる数学的な理論の本体は過去数十年にわたって発展してきた。
その主な電子計算上の方法はホモトピー連続（英語版）である。
これは、例えば、代数幾何学の問題を解くための浮動小数点数の電子計算の或るモデルを支える。
他分野との関係[編集]
代数幾何学はそもそも、多項式の零点のなすような図形を代数多様体として研究する学問であったが、
現代では数理物理学[2][3]・可積分系[4][5][6][7][8]との関係や、機械学習への応用が研究されている[9][10]。
- 69 ：
- >>68
主な日本人研究者[編集]
小平邦彦
森重文
広中平祐
梅村浩
飯高茂
斎藤秀司
出典[編集]
^ Rowland, Todd. "Algebraic Geometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,
created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicGeometry.html
^ 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開
^ 数理物理と代数幾何
^ 可積分系と代数幾何学の入り口
^ 代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -
^ Vanhaecke, P. (2001). Integrable systems in the realm of algebraic geometry.
Springer Science & Business Media.
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997, Rokko Oriental Hotel, Kobe,
30 June – 4 July 1997,
https://doi.org/10.1142/3597 (October 1998) Edited by M-H Saito (Kobe University, Japan),
Y Shimizu (Kyoto University, Japan) and K Ueno (Kyoto University, Japan)
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Edited by Ron Donagi, Cambridge University Press.
^ 渡辺澄夫. (2006). 代数幾何と学習理論. 森北出版.
^ Watanabe, S. (2009).
Algebraic geometry and statistical learning theory (Vol. 25). Cambridge University Press.
関連項目[編集]
スキーム
代数多様体
代数幾何学と解析幾何学
- 70 ：
- >>69
主な日本人研究者[編集]
小平邦彦
森重文
広中平祐
梅村浩
飯高茂
斎藤秀司
出典[編集]
^ Rowland, Todd. "Algebraic Geometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,
created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicGeometry.html
^ 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開
^ 数理物理と代数幾何
^ 可積分系と代数幾何学の入り口
^ 代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -
^ Vanhaecke, P. (2001). Integrable systems in the realm of algebraic geometry.
Springer Science & Business Media.
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997, Rokko Oriental Hotel, Kobe,
30 June – 4 July 1997,
https://doi.org/10.1142/3597 (October 1998) Edited by M-H Saito (Kobe University, Japan),
Y Shimizu (Kyoto University, Japan) and K Ueno (Kyoto University, Japan)
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Edited by Ron Donagi, Cambridge University Press.
^ 渡辺澄夫. (2006). 代数幾何と学習理論. 森北出版.
^ Watanabe, S. (2009).
Algebraic geometry and statistical learning theory (Vol. 25). Cambridge University Press.
関連項目[編集]
スキーム
代数多様体
代数幾何学と解析幾何学
- 71 ：
- >>70
主な日本人研究者[編集]
小平邦彦
森重文
広中平祐
梅村浩
飯高茂
斎藤秀司
出典[編集]
^ Rowland, Todd. "Algebraic Geometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,
created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicGeometry.html
^ 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開
^ 数理物理と代数幾何
^ 可積分系と代数幾何学の入り口
^ 代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -
^ Vanhaecke, P. (2001). Integrable systems in the realm of algebraic geometry.
Springer Science & Business Media.
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997, Rokko Oriental Hotel, Kobe,
30 June – 4 July 1997,
https://doi.org/10.1142/3597 (October 1998) Edited by M-H Saito (Kobe University, Japan),
Y Shimizu (Kyoto University, Japan) and K Ueno (Kyoto University, Japan)
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Edited by Ron Donagi, Cambridge University Press.
^ 渡辺澄夫. (2006). 代数幾何と学習理論. 森北出版.
^ Watanabe, S. (2009).
Algebraic geometry and statistical learning theory (Vol. 25). Cambridge University Press.
関連項目[編集]
スキーム
代数多様体
代数幾何学と解析幾何学
- 72 ：
- >>71
主な日本人研究者[編集]
小平邦彦
森重文
広中平祐
梅村浩
飯高茂
斎藤秀司
出典[編集]
^ Rowland, Todd. "Algebraic Geometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,
created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicGeometry.html
^ 数理物理学の観点からの代数幾何学の新展開
^ 数理物理と代数幾何
^ 可積分系と代数幾何学の入り口
^ 代数幾何と可積分系の融合 - 理論の深化と数学・数理物理学における新展開 -
^ Vanhaecke, P. (2001). Integrable systems in the realm of algebraic geometry.
Springer Science & Business Media.
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Proceedings of the Taniguchi Symposium 1997, Rokko Oriental Hotel, Kobe,
30 June – 4 July 1997,
https://doi.org/10.1142/3597 (October 1998) Edited by M-H Saito (Kobe University, Japan),
Y Shimizu (Kyoto University, Japan) and K Ueno (Kyoto University, Japan)
^ Integrable Systems and Algebraic Geometry,
Edited by Ron Donagi, Cambridge University Press.
^ 渡辺澄夫. (2006). 代数幾何と学習理論. 森北出版.
^ Watanabe, S. (2009).
Algebraic geometry and statistical learning theory (Vol. 25). Cambridge University Press.
関連項目[編集]
スキーム
代数多様体
代数幾何学と解析幾何学
- 73 ：
- 1番 a=1 b=-5/2 PQ:PR=4:3
2番 12/77
3番 a=1 p=3 q=11 r=5
4番 (1)4/3 (2)q=0,1/3,1±√(6)/3
5番 (n(n-1))^2(5n-7)/3
6番 5π/12
宿題 (3m-1)(3n-1)/12
- 74 ：
- 1番 a=1 b=-5/2 PQ:PR=4:3
2番 12/77
3番 a=1 p=3 q=11 r=5
4番 (1)4/3 (2)q=0,1/3,1±√(6)/3
5番 (n(n-1))^2(5n-7)/3
6番 5π/12
宿題 (3m-1)(3n-1)/12
- 75 ：
- 宿題 (3m-1)(3n-1)/12
- 76 ：
- 連投規制って実際はないよな？
- 77 ：
- 6番 5π/12
- 78 ：
- >>77
大学への数学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
『大学への数学』（だいがくへのすうがく）は、大学受験での数学を取り扱う東京出版の雑誌。略称は大数（だいすう）[1]。
歴史[編集]
本誌は都市圏以外に在住する学生が受験関連の情報にアクセスしやすくなることを目的として、東京出版の社長を務めていた黒木正憲により1957年に創刊された[2]。
黒木自身はもともと法学部の出身だが[2]、勤めていた予備校で数学を教えていた際、母校である宮崎県立妻中学校で執り行われていた数学の授業内容に対し危機感を覚えたことがきっかけで出版業界への扉を叩いた[3]。
創刊以来30年程度は創刊者の兄に当たる、ソニーの取締役を務めた経験のあるデザイナーの黒木靖夫が表紙のデザインを担当した[4]。
内容[編集]
毎刊B5サイズの百ページ程度から構成され、高校数学での履修範囲を体系的にまとめることに加え、受験数学に限らず学問としての数学にも読者に関心を持ってもらえるような内容を目指して編纂されている[2]。
特に巻末に収録される「学力コンテスト」（通称：学コン）は創刊号の1957年6月号から実施され[5]数学の問題が毎月6題出題されるが[2]、大学入試で出題される問題とは異質な内容になっている[2][6]。
発売日から20日程度までが解答期限として設定されており、毎月投稿される約1000通（1996年時点）の応募のなかから上位の成績を収めたものは誌内に氏名が掲載される[2]。
正答していてもエレガントな解法でない場合には辛口のコメント付きで添削され[6]、入賞者にはバインダーなどが贈呈される[7]。
学コンよりも難易度の高い問題は「宿題」というコーナーで出題されている[2]。
受容[編集]
2014年にノーベル物理学賞を受賞した電子工学者の天野浩[8]や、マグマ学者の巽好幸[9]も高校時代・受験生時代に愛読しており、巽は「受験勉強というより数学としておもしろかったです」と評している[9]。
フィールズ賞を受賞した森重文は学コンの成績上位者に名を連ねていた一人であり、「とことん考えることを教わりました。（中略）『大学への数学』から教わった私の原点の一つです」と朝日新聞の取材で語っている[2]。
- 79 ：
- >>78
大学への数学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
『大学への数学』（だいがくへのすうがく）は、大学受験での数学を取り扱う東京出版の雑誌。略称は大数（だいすう）[1]。
歴史[編集]
本誌は都市圏以外に在住する学生が受験関連の情報にアクセスしやすくなることを目的として、東京出版の社長を務めていた黒木正憲により1957年に創刊された[2]。
黒木自身はもともと法学部の出身だが[2]、勤めていた予備校で数学を教えていた際、母校である宮崎県立妻中学校で執り行われていた数学の授業内容に対し危機感を覚えたことがきっかけで出版業界への扉を叩いた[3]。
創刊以来30年程度は創刊者の兄に当たる、ソニーの取締役を務めた経験のあるデザイナーの黒木靖夫が表紙のデザインを担当した[4]。
内容[編集]
毎刊B5サイズの百ページ程度から構成され、高校数学での履修範囲を体系的にまとめることに加え、受験数学に限らず学問としての数学にも読者に関心を持ってもらえるような内容を目指して編纂されている[2]。
特に巻末に収録される「学力コンテスト」（通称：学コン）は創刊号の1957年6月号から実施され[5]数学の問題が毎月6題出題されるが[2]、大学入試で出題される問題とは異質な内容になっている[2][6]。
発売日から20日程度までが解答期限として設定されており、毎月投稿される約1000通（1996年時点）の応募のなかから上位の成績を収めたものは誌内に氏名が掲載される[2]。
正答していてもエレガントな解法でない場合には辛口のコメント付きで添削され[6]、入賞者にはバインダーなどが贈呈される[7]。
学コンよりも難易度の高い問題は「宿題」というコーナーで出題されている[2]。
受容[編集]
2014年にノーベル物理学賞を受賞した電子工学者の天野浩[8]や、マグマ学者の巽好幸[9]も高校時代・受験生時代に愛読しており、巽は「受験勉強というより数学としておもしろかったです」と評している[9]。
フィールズ賞を受賞した森重文は学コンの成績上位者に名を連ねていた一人であり、「とことん考えることを教わりました。（中略）『大学への数学』から教わった私の原点の一つです」と朝日新聞の取材で語っている[2]。
- 80 ：
- 解説をお願いします
- 81 ：
- >>79
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、
極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。
代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。
数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、
初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い[4][1]。
これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する[1]。
例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、
その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる[1]。
解析学の最も基本的な部分は、
微分積分学、または微積分学と呼ばれる。
また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、
接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、
現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する[5]。
また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、
物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。
解析学は微積分をもとに、
微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており[6]、
現代では確率論をも含む。
現代日本においては解析学の基本的分野[7]は概ね高校2年から大学2年程度で習い、
進度の差はあれ世界中の高校や大学などで教えられている。
- 82 ：
- >>81
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、
極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。
代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。
数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、
初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い[4][1]。
これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する[1]。
例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、
その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる[1]。
解析学の最も基本的な部分は、
微分積分学、または微積分学と呼ばれる。
また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、
接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、
現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する[5]。
また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、
物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。
解析学は微積分をもとに、
微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており[6]、
現代では確率論をも含む。
現代日本においては解析学の基本的分野[7]は概ね高校2年から大学2年程度で習い、
進度の差はあれ世界中の高校や大学などで教えられている。
- 83 ：
- >>82
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、
極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。
代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。
数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、
初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い[4][1]。
これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する[1]。
例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、
その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる[1]。
解析学の最も基本的な部分は、
微分積分学、または微積分学と呼ばれる。
また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、
接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、
現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する[5]。
また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、
物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。
解析学は微積分をもとに、
微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており[6]、
現代では確率論をも含む。
現代日本においては解析学の基本的分野[7]は概ね高校2年から大学2年程度で習い、
進度の差はあれ世界中の高校や大学などで教えられている。
- 84 ：
- >>83
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、
極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。
代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。
数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、
初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い[4][1]。
これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する[1]。
例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、
その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる[1]。
解析学の最も基本的な部分は、
微分積分学、または微積分学と呼ばれる。
また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、
接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、
現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する[5]。
また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、
物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。
解析学は微積分をもとに、
微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており[6]、
現代では確率論をも含む。
現代日本においては解析学の基本的分野[7]は概ね高校2年から大学2年程度で習い、
進度の差はあれ世界中の高校や大学などで教えられている。
- 85 ：
- >>84
目次
1 歴史
1.1 解析学の起源
1.2 微分積分学の黎明期
1.3 微分積分学誕生
1.4 ポスト微分積分学
1.5 解析学の基礎付け
1.5.1 級数論
1.5.2 微積分・関数の厳密化
1.5.3 集合論・測度論
1.5.4 実数論
1.5.5 無限小と超準解析
1.6 関数論の登場
1.7 関数解析学
1.8 超関数
2 解析学の諸分野
2.1 基本概念
2.2 現代解析学
3 解析学の展開
4 脚注・参考文献
5 関連項目
- 86 ：
- >>85
目次
1 歴史
1.1 解析学の起源
1.2 微分積分学の黎明期
1.3 微分積分学誕生
1.4 ポスト微分積分学
1.5 解析学の基礎付け
1.5.1 級数論
1.5.2 微積分・関数の厳密化
1.5.3 集合論・測度論
1.5.4 実数論
1.5.5 無限小と超準解析
1.6 関数論の登場
1.7 関数解析学
1.8 超関数
2 解析学の諸分野
2.1 基本概念
2.2 現代解析学
3 解析学の展開
4 脚注・参考文献
5 関連項目
- 87 ：
- >>86
目次
1 歴史
1.1 解析学の起源
1.2 微分積分学の黎明期
1.3 微分積分学誕生
1.4 ポスト微分積分学
1.5 解析学の基礎付け
1.5.1 級数論
1.5.2 微積分・関数の厳密化
1.5.3 集合論・測度論
1.5.4 実数論
1.5.5 無限小と超準解析
1.6 関数論の登場
1.7 関数解析学
1.8 超関数
2 解析学の諸分野
2.1 基本概念
2.2 現代解析学
3 解析学の展開
4 脚注・参考文献
5 関連項目
- 88 ：
- >>87
目次
1 歴史
1.1 解析学の起源
1.2 微分積分学の黎明期
1.3 微分積分学誕生
1.4 ポスト微分積分学
1.5 解析学の基礎付け
1.5.1 級数論
1.5.2 微積分・関数の厳密化
1.5.3 集合論・測度論
1.5.4 実数論
1.5.5 無限小と超準解析
1.6 関数論の登場
1.7 関数解析学
1.8 超関数
2 解析学の諸分野
2.1 基本概念
2.2 現代解析学
3 解析学の展開
4 脚注・参考文献
5 関連項目
- 89 ：
- >>88
歴史[編集]
解析学の起源[編集]
解析学の起源は、エウドクソスが考案し、
アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる[1]。
彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。
しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、
あくまで個々の図形に適用されるにとどまった[1]。
微分積分学の黎明期[編集]
これらは16世紀からフランソワ・ヴィエト、ケプラー、カヴァリエリらによって歴史に再登場し[1]、
例えば回転体の体積を求める手法であるカヴァリエリの原理などが有名であろう[8]。
しかし解析学が本格的な発展を遂げ始めたのは、
フェルマーやデカルト、パスカル、ジョン・ウォリス、ジル・ド・ロベルヴァルらによって[1]、
曲線の接線を考える上で考え出された微分学の初歩的概念が登場してからである[1]。
とくにフェルマーは極値問題に微分学を応用した[1]。
日本において発達した数学である和算においても、
ほぼ同時期に微積分の初歩的概念に到達していた[1]。
- 90 ：
- >>89
歴史[編集]
解析学の起源[編集]
解析学の起源は、エウドクソスが考案し、
アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる[1]。
彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。
しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、
あくまで個々の図形に適用されるにとどまった[1]。
微分積分学の黎明期[編集]
これらは16世紀からフランソワ・ヴィエト、ケプラー、カヴァリエリらによって歴史に再登場し[1]、
例えば回転体の体積を求める手法であるカヴァリエリの原理などが有名であろう[8]。
しかし解析学が本格的な発展を遂げ始めたのは、
フェルマーやデカルト、パスカル、ジョン・ウォリス、ジル・ド・ロベルヴァルらによって[1]、
曲線の接線を考える上で考え出された微分学の初歩的概念が登場してからである[1]。
とくにフェルマーは極値問題に微分学を応用した[1]。
日本において発達した数学である和算においても、
ほぼ同時期に微積分の初歩的概念に到達していた[1]。
- 91 ：
- >>90
歴史[編集]
解析学の起源[編集]
解析学の起源は、エウドクソスが考案し、
アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる[1]。
彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。
しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、
あくまで個々の図形に適用されるにとどまった[1]。
微分積分学の黎明期[編集]
これらは16世紀からフランソワ・ヴィエト、ケプラー、カヴァリエリらによって歴史に再登場し[1]、
例えば回転体の体積を求める手法であるカヴァリエリの原理などが有名であろう[8]。
しかし解析学が本格的な発展を遂げ始めたのは、
フェルマーやデカルト、パスカル、ジョン・ウォリス、ジル・ド・ロベルヴァルらによって[1]、
曲線の接線を考える上で考え出された微分学の初歩的概念が登場してからである[1]。
とくにフェルマーは極値問題に微分学を応用した[1]。
日本において発達した数学である和算においても、
ほぼ同時期に微積分の初歩的概念に到達していた[1]。
- 92 ：
- >>91
歴史[編集]
解析学の起源[編集]
解析学の起源は、エウドクソスが考案し、
アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる[1]。
彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。
しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、
あくまで個々の図形に適用されるにとどまった[1]。
微分積分学の黎明期[編集]
これらは16世紀からフランソワ・ヴィエト、ケプラー、カヴァリエリらによって歴史に再登場し[1]、
例えば回転体の体積を求める手法であるカヴァリエリの原理などが有名であろう[8]。
しかし解析学が本格的な発展を遂げ始めたのは、
フェルマーやデカルト、パスカル、ジョン・ウォリス、ジル・ド・ロベルヴァルらによって[1]、
曲線の接線を考える上で考え出された微分学の初歩的概念が登場してからである[1]。
とくにフェルマーは極値問題に微分学を応用した[1]。
日本において発達した数学である和算においても、
ほぼ同時期に微積分の初歩的概念に到達していた[1]。
- 93 ：
- >>92
微分積分学誕生[編集]
解析学の初歩的概念である微分積分学の成立に関する決定的業績は、
ニュートンおよびライプニッツらによってもたらされた。
ニュートンは、古典力学の研究から微分積分学を生み出し、
微分と積分を統合して、両者がある意味で逆の関係にあることを見抜いた。
これは今日では微分積分学の基本定理と呼ばれる[1]。
更に冪級数を用いて主要な関数に微分積分学を応用した[1]。
同じ時期に[1]ライプニッツも同様な発見をした上、
現代も用いられる微分積分の記号表記法を考案してその後の研究の基礎を築いた。
ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって
無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、
ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 {\displaystyle \int } \int を導入したりした。
彼らは微分積分学の主要な分野を開拓したものの、
微分積分学の基本概念である無限や極限といった概念を明確化できなかったため、
ときに厳しく批判されることもあった[1]。
また彼らの間で微分積分学の先取権争いがあったが、
現代では独立に発見したとされている[1]。
- 94 ：
- >>93
微分積分学誕生[編集]
解析学の初歩的概念である微分積分学の成立に関する決定的業績は、
ニュートンおよびライプニッツらによってもたらされた。
ニュートンは、古典力学の研究から微分積分学を生み出し、
微分と積分を統合して、両者がある意味で逆の関係にあることを見抜いた。
これは今日では微分積分学の基本定理と呼ばれる[1]。
更に冪級数を用いて主要な関数に微分積分学を応用した[1]。
同じ時期に[1]ライプニッツも同様な発見をした上、
現代も用いられる微分積分の記号表記法を考案してその後の研究の基礎を築いた。
ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって
無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、
ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 {\displaystyle \int } \int を導入したりした。
彼らは微分積分学の主要な分野を開拓したものの、
微分積分学の基本概念である無限や極限といった概念を明確化できなかったため、
ときに厳しく批判されることもあった[1]。
また彼らの間で微分積分学の先取権争いがあったが、
現代では独立に発見したとされている[1]。
- 95 ：
- >>94
微分積分学誕生[編集]
解析学の初歩的概念である微分積分学の成立に関する決定的業績は、
ニュートンおよびライプニッツらによってもたらされた。
ニュートンは、古典力学の研究から微分積分学を生み出し、
微分と積分を統合して、両者がある意味で逆の関係にあることを見抜いた。
これは今日では微分積分学の基本定理と呼ばれる[1]。
更に冪級数を用いて主要な関数に微分積分学を応用した[1]。
同じ時期に[1]ライプニッツも同様な発見をした上、
現代も用いられる微分積分の記号表記法を考案してその後の研究の基礎を築いた。
ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって
無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、
ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 {\displaystyle \int } \int を導入したりした。
彼らは微分積分学の主要な分野を開拓したものの、
微分積分学の基本概念である無限や極限といった概念を明確化できなかったため、
ときに厳しく批判されることもあった[1]。
また彼らの間で微分積分学の先取権争いがあったが、
現代では独立に発見したとされている[1]。
- 96 ：
- >>95
微分積分学誕生[編集]
解析学の初歩的概念である微分積分学の成立に関する決定的業績は、
ニュートンおよびライプニッツらによってもたらされた。
ニュートンは、古典力学の研究から微分積分学を生み出し、
微分と積分を統合して、両者がある意味で逆の関係にあることを見抜いた。
これは今日では微分積分学の基本定理と呼ばれる[1]。
更に冪級数を用いて主要な関数に微分積分学を応用した[1]。
同じ時期に[1]ライプニッツも同様な発見をした上、
現代も用いられる微分積分の記号表記法を考案してその後の研究の基礎を築いた。
ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって
無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、
ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 {\displaystyle \int } \int を導入したりした。
彼らは微分積分学の主要な分野を開拓したものの、
微分積分学の基本概念である無限や極限といった概念を明確化できなかったため、
ときに厳しく批判されることもあった[1]。
また彼らの間で微分積分学の先取権争いがあったが、
現代では独立に発見したとされている[1]。
- 97 ：
- >>96
ポスト微分積分学[編集]
微分積分学成立以後、イギリスの科学者たちはニュートンの記法に固執し、
テイラーは1715年に、マクローリンは1742年に優れた研究を発表しているものの、
イギリスにおいては大陸に対し、微分積分学の研究は没落していった[1]。
なぜならばとくに偏微分においてはニュートンの方法では、何を何で微分したかがわからず、
ニュートンの方法では微分した変数と階数しかわからない。
この点においてはライプニッツの方法が圧倒的に優位に立っていたのである[1]。
この後イギリスの没落は長らく続き、再び大陸に対し優位を取り戻すにはなんと20世紀初頭まで掛かり、
G・H・ハーディの登場を待たねばならなかったとすらいわれる[9]。
これに対してライプニッツの微分記号を抵抗なく用いることができた大陸ではライプニッツと繋がりのあった
有名な数学者の一族であるベルヌーイ一家や、更に彼らと繋がりのあったロピタルらによって
多変数の微分積分学や複雑な式の形の微分方程式、変分法といった解析学が急速に発展してゆくこととなる[1]。
その後18世紀には、オイラーらによってこれらの問題は統一的に体系化され、解析学は大きな進歩を遂げた。
とくに微分方程式を用いた様々な問題が生まれ、彼の著書「無限解析序説[10]」では
冒頭で関数とは解析的式[11]であると定義されているが、彼が解析学を関数の研究を主眼として
見ていたとすれば大変興味深い内容であるといえる[1]。
解析学の基礎付け[編集]
19世紀に入って解析学は、今まで直感任せであった無限小や極限、
収束といったその基礎に疑いの目が向けられるようになり、それを厳密化することによって発展してゆくこととなる。
18世紀より、弦の振動を表す微分方程式から、「任意の関数は三角級数の和で表せるか？」という問題があったが、
この問題で重要となったのはフーリエが熱伝導問題で用いたフーリエ級数である。
この級数は19世紀数学において主要な役割を果たし、この級数の収束について厳密に証明するために、
それまでは必ずしもそこまでの厳密さが必要ではなかった級数・関数・実数などといった
現代の解析学では常識と化している概念の厳密な基礎付けが行われていくこととなる。
- 98 ：
- >>97
ポスト微分積分学[編集]
微分積分学成立以後、イギリスの科学者たちはニュートンの記法に固執し、
テイラーは1715年に、マクローリンは1742年に優れた研究を発表しているものの、
イギリスにおいては大陸に対し、微分積分学の研究は没落していった[1]。
なぜならばとくに偏微分においてはニュートンの方法では、何を何で微分したかがわからず、
ニュートンの方法では微分した変数と階数しかわからない。
この点においてはライプニッツの方法が圧倒的に優位に立っていたのである[1]。
この後イギリスの没落は長らく続き、再び大陸に対し優位を取り戻すにはなんと20世紀初頭まで掛かり、
G・H・ハーディの登場を待たねばならなかったとすらいわれる[9]。
これに対してライプニッツの微分記号を抵抗なく用いることができた大陸ではライプニッツと繋がりのあった
有名な数学者の一族であるベルヌーイ一家や、更に彼らと繋がりのあったロピタルらによって
多変数の微分積分学や複雑な式の形の微分方程式、変分法といった解析学が急速に発展してゆくこととなる[1]。
その後18世紀には、オイラーらによってこれらの問題は統一的に体系化され、解析学は大きな進歩を遂げた。
とくに微分方程式を用いた様々な問題が生まれ、彼の著書「無限解析序説[10]」では
冒頭で関数とは解析的式[11]であると定義されているが、彼が解析学を関数の研究を主眼として
見ていたとすれば大変興味深い内容であるといえる[1]。
解析学の基礎付け[編集]
19世紀に入って解析学は、今まで直感任せであった無限小や極限、
収束といったその基礎に疑いの目が向けられるようになり、それを厳密化することによって発展してゆくこととなる。
18世紀より、弦の振動を表す微分方程式から、「任意の関数は三角級数の和で表せるか？」という問題があったが、
この問題で重要となったのはフーリエが熱伝導問題で用いたフーリエ級数である。
この級数は19世紀数学において主要な役割を果たし、この級数の収束について厳密に証明するために、
それまでは必ずしもそこまでの厳密さが必要ではなかった級数・関数・実数などといった
現代の解析学では常識と化している概念の厳密な基礎付けが行われていくこととなる。
- 99 ：
- >>98
ポスト微分積分学[編集]
微分積分学成立以後、イギリスの科学者たちはニュートンの記法に固執し、
テイラーは1715年に、マクローリンは1742年に優れた研究を発表しているものの、
イギリスにおいては大陸に対し、微分積分学の研究は没落していった[1]。
なぜならばとくに偏微分においてはニュートンの方法では、何を何で微分したかがわからず、
ニュートンの方法では微分した変数と階数しかわからない。
この点においてはライプニッツの方法が圧倒的に優位に立っていたのである[1]。
この後イギリスの没落は長らく続き、再び大陸に対し優位を取り戻すにはなんと20世紀初頭まで掛かり、
G・H・ハーディの登場を待たねばならなかったとすらいわれる[9]。
これに対してライプニッツの微分記号を抵抗なく用いることができた大陸ではライプニッツと繋がりのあった
有名な数学者の一族であるベルヌーイ一家や、更に彼らと繋がりのあったロピタルらによって
多変数の微分積分学や複雑な式の形の微分方程式、変分法といった解析学が急速に発展してゆくこととなる[1]。
その後18世紀には、オイラーらによってこれらの問題は統一的に体系化され、解析学は大きな進歩を遂げた。
とくに微分方程式を用いた様々な問題が生まれ、彼の著書「無限解析序説[10]」では
冒頭で関数とは解析的式[11]であると定義されているが、彼が解析学を関数の研究を主眼として
見ていたとすれば大変興味深い内容であるといえる[1]。
解析学の基礎付け[編集]
19世紀に入って解析学は、今まで直感任せであった無限小や極限、
収束といったその基礎に疑いの目が向けられるようになり、それを厳密化することによって発展してゆくこととなる。
18世紀より、弦の振動を表す微分方程式から、「任意の関数は三角級数の和で表せるか？」という問題があったが、
この問題で重要となったのはフーリエが熱伝導問題で用いたフーリエ級数である。
この級数は19世紀数学において主要な役割を果たし、この級数の収束について厳密に証明するために、
それまでは必ずしもそこまでの厳密さが必要ではなかった級数・関数・実数などといった
現代の解析学では常識と化している概念の厳密な基礎付けが行われていくこととなる。
- 100 ：
- >>99
ポスト微分積分学[編集]
微分積分学成立以後、イギリスの科学者たちはニュートンの記法に固執し、
テイラーは1715年に、マクローリンは1742年に優れた研究を発表しているものの、
イギリスにおいては大陸に対し、微分積分学の研究は没落していった[1]。
なぜならばとくに偏微分においてはニュートンの方法では、何を何で微分したかがわからず、
ニュートンの方法では微分した変数と階数しかわからない。
この点においてはライプニッツの方法が圧倒的に優位に立っていたのである[1]。
この後イギリスの没落は長らく続き、再び大陸に対し優位を取り戻すにはなんと20世紀初頭まで掛かり、
G・H・ハーディの登場を待たねばならなかったとすらいわれる[9]。
これに対してライプニッツの微分記号を抵抗なく用いることができた大陸ではライプニッツと繋がりのあった
有名な数学者の一族であるベルヌーイ一家や、更に彼らと繋がりのあったロピタルらによって
多変数の微分積分学や複雑な式の形の微分方程式、変分法といった解析学が急速に発展してゆくこととなる[1]。
その後18世紀には、オイラーらによってこれらの問題は統一的に体系化され、解析学は大きな進歩を遂げた。
とくに微分方程式を用いた様々な問題が生まれ、彼の著書「無限解析序説[10]」では
冒頭で関数とは解析的式[11]であると定義されているが、彼が解析学を関数の研究を主眼として
見ていたとすれば大変興味深い内容であるといえる[1]。
解析学の基礎付け[編集]
19世紀に入って解析学は、今まで直感任せであった無限小や極限、
収束といったその基礎に疑いの目が向けられるようになり、それを厳密化することによって発展してゆくこととなる。
18世紀より、弦の振動を表す微分方程式から、「任意の関数は三角級数の和で表せるか？」という問題があったが、
この問題で重要となったのはフーリエが熱伝導問題で用いたフーリエ級数である。
この級数は19世紀数学において主要な役割を果たし、この級数の収束について厳密に証明するために、
それまでは必ずしもそこまでの厳密さが必要ではなかった級数・関数・実数などといった
現代の解析学では常識と化している概念の厳密な基礎付けが行われていくこととなる。
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